فرمول محیط و مساحت دایره چیست + حل تمرین و مثال

مقدمه

دایره یک شکل هندسی است که تمام نقاط تشکیل‌دهنده آن فاصله برابری با مرکزش دارند. به فاصله نقاط دایره تا مرکز آن، شعاع گفته می‌شود. اگر شعاع را دو برابر کنیم، قطر دایره به دست می‌آید. اگر به اطراف خود نگاه کنید، این شکل را در لوازم مختلف مشاهده خواهید کرد. ممکن است بشقاب، میز، تابلوی روی دیوار، آینه و… شما به شکل یک دایره باشد. از آنجایی که این شکل جز اشکال هندسی پایه محسوب می‌شود، کاربرد زیادی در زندگی ما دارد. در این مطلب می‌خواهیم نحوه محاسبه محیط و مساحت دایره را آموزش دهیم و مثال‌هایی در این زمینه بیاوریم. با ادامه این مطلب ما را همراهی کنید.              

محیط دایره چیست؟

وقتی می‌خواهیم دور چیزی را اندازه بگیریم، در واقع باید محیط آن را به دست بیاوریم. محیط دایره هم اندازه دور یک دایره است. روش‌های مختلفی برای محاسبه محیط دایره وجود دارد. در ادامه این روش‌ها را توضیح می‌دهیم. 

 فرمول محیط دایره چیست؟

برای به دست آوردن محیط دایره به اندازه قطر یا شعاع آن نیاز دارید. کافی است قطر دایره را در عدد پی یا ۳/۱۴ ضرب کنید. عدد پی همیشه ثابت است و تغییر نمی‌کند. اگر هم اندازه قطر را ندارید، کافی است شعاع دایره را در عدد ۲ ضرب کنید. با این کار اندازه قطر دایره به دست می‌آید. سپس می‌توانید قطر را در عدد پی ضرب کنید. 

• فرمول محاسبه محیط دایره با شعاع:

C=πr۲

 (شعاع× ۲) × (عدد پی) = محیط دایره

C: محیط دایره

π: ۳/۱۴

r: شعاع دایره (نصف قطر)

 

• فرمول محاسبه محیط دایره با قطر:

C=πd

قطر × عدد پی = محیط دایره

C: محیط

π: ۳/۱۴

d: قطر دایره (دو برابر شعاع)

 

• فرمول محاسبه محیط دایره با مساحت:

(C= 2√(πA

محیط دایره= ۲× جذر (عدد × مساحت دایره)

C: محیط

A: مساحت دایره

π: ۳/۱۴

 مساحت دایره چیست؟

وقتی از مساحت چیزی حرف می‌زنیم، منظورمان سطح همان چیز است. برای درک بهتر، یک کاغذ و مداد بردارید. دایره‌ای روی آن بکشید. حال بخش داخلی دایره را رنگ کنید. این بخش، همان مساحت دایره است. برای به دست آوردن مساحت دایره، همانند محیط آن، به اندازه شعاع یا قطر دایره نیاز دارید. 

 فرمول مساحت دایره چیست؟

روش‌های مختلفی برای محاسبه مساحت دایره وجود دارد. حتی با داشتن محیط دایره هم می‌توانید مساحت آن را به دست اورید. 

• محاسبه مساحت دایره به شعاع:

A=π×r۲

شعاع × شعاع × عدد پی= مساحت دایره

A: مساحت دایره

π: ۳/۱۴

r: شعاع دایره

• محاسبه مساحت دایره با قطر:

(A= π(d۲÷۴

(۴ ÷ قطر × قطر) × عدد پی = مساحت دایره

A: مساحت دایره

π: عدد ثابت ۳/۱۴

d: قطر دایره

• محاسبه مساحت دایره با محیط آن:

شعاع × نصف محیط دایره = مساحت دایره

(عدد پی × ۴) ÷  (محیط دایره × خودش) = مساحت دایره 

 

همان طور که مشاهده کردید، می‌توان به دو طریق، مساحت دایره را با استفاده از محیط آن به دست آورد. 

فرمول محیط و مساحت قطاع دایره

قطاع بخشی از دایره است که از دو شعاع و یک کمان تشکیل می‌شود. دایره‌ای را تصور کنید. حال دو شعاع برای آن بکشید. دایره به دو بخش تقسیم می‌شود. به این دو بخش که با دو شعاع و یک کمان شکل می‌گیرند، قطاع گفته می‌شود. 

• فرمول محاسبه محیط قطاع:

شعاع + شعاع + کمان = محیط قطاع

(شعاع × ۲) + کمان = محیط قطاع

حال ممکن است این سؤال برای شما پیش بیاید که اندازه کمان را چگونه باید به دست بیاورید. اول باید به این نکته توجه کنید که زاویه یک دایره کامل برابر با ۳۶۰ درجه یا عدد پی × ۲ است. با توجه به این مسئله طول کمان به شکل زیر به دست می‌آید:

زاویه کمان × شعاع = طول کمان

l=rθ

l: طول کمان

r: شعاع دایره

θ: زاویه کمان بر حسب رادیان

از آنجایی که اغلب زاویه را با درجه نشان می‌دهیم، در اینجا باید اندازه زاویه را که بر حسب رادیان است، به درجه تبدیل کنید. برای این کار می‌توانید از فرمول زیر استفاده کنید:

۱۸۰ ÷ (π × درجه) = رادیان

نکته: اگر دو قطر عمود بر هم برای یک دایره بکشید، آن را به ۴ ربع تقسیم می‌کنید. هر ربع دایره، یک قطاع محسوب می‌شود. در این حالت کافی است مساحت دایره را تقسیم بر ۴ کنید:

۴ ÷ مساحت دایره کامل = مساحت ربع دایره

همان طور که توضیح دادیم این فرمول در صورتی کاربردی است که تمامی قطاع‌ها برابر باشند. 

فرمول محاسبه مساحت قطاع دایره:

(As=( θ÷۲)×(r×r

As: مساحت قطاع دایره

r: شعاع دایره

θ: زاویه رو به روی کمان قطاع بر حسب رادیان

حل مثال‌های فرمول محیط و مساحت دایره

حال بیایید چند مثال حل کنیم تا بهتر نحوه به کارگیری فرمول‌ها را یاد بگیریم. 

• مثال محاسبه محیط دایره با شعاع:

یک تابلوی دایره‌ای شکل با شعاع ۱۰ سانتی‌متر داریم. محیط این تابلو را حساب کنید.

برای حل این مسئله باید از فرمول زیر استفاده کنیم:

شعاع × عدد پی × ۲ = محیط دایره

۲×۱۰×۳/۱۴= ۶۲/۸

محیط تابلو ۸/۶۲ سانتی‌متر است.

• مثال محاسبه محیط دایره با قطر:

قطر آینه‌ای ۱۰ سانتی‌متر است. محیط آن چقدر است؟

قطر × عدد پی = محیط دایره

۱۰×۳/۱۴= ۴/۳۱

محیط دایره ۴/۳۱ سانتی‌متر است.

• مثال محاسبه محیط دایره با مساحت:

مساحت بشقابی ۱۲ سانتی‌متر است. محیط آن را حساب کنید. 

برای حل این مسئله باید از فرمول زیر استفاده کنیم:

محیط دایره= ۲× جذر (عدد پی × مساحت دایره)

۳/۱۴×۱۲=۳۷/۶۸

(۳۷/۶۸)√= ۶/۱۳

۶/۱۳×۲= ۱۲/۲۷

محیط بشقاب ۱۲/۲۷ سانتی‌متر است. 

• مثال محاسبه مساحت دایره با شعاع:

شعاع دایره‌ای ۳ سانتی‌متر است. مساحت آن چقدر است؟

ما باید مساحت دایره را با توجه به فرمول زیر حساب کنیم:

شعاع × شعاع × عدد پی = مساحت دایره

۳×۳×۳/۱۴= ۲۸/۲۶ cm

مساحت این دایره ۲۶/۲۸ سانتی‌متر است. 

• مثال محاسبه مساحت دایره با قطر:

قطر یک دایره ۱۰ سانتی‌متر است. مساحت آن را حساب کنید.

برای این کار باید از فرمول زیر استفاده کنید:

مساحت دایره= عدد پی ×( قطر ÷۲)

۳/۱۴×(۱۰÷۲)= ۱۵/۷

مساحت دایره ۷/۱۵ سانتی‌متر است. 

• مثال محاسبه مساحت دایره با محیط:

‌محیط یک فرش دایره‌ای شکل ۶۲ سانتی‌متر است. مساحت این فرش چقدر است؟

برای حل این مسئله باید از فرمول زیر استفاده کنیم:

(عدد پی × ۴) ÷  (محیط دایره × خودش) = مساحت دایره 

(۶۲×۶۲)÷(۳/۱۴×۴)= ۳۰۶/۰۵

مساحت فرش ۳۰۶/۰۵ سانتی‌متر است.

• مثال محاسبه محیط قطاع:

زاویه قطاعی با شعاع ۴ سانتی‌متر، ۴۵ درجه است. محیط قطاع را حساب کنید.

برای حل این مسئله ابتدا باید زاویه قطاع را بر حسب رادیان به دست بیاوریم. برای این کار باید از فرمول زیر استفاده کنیم:

۱۸۰ ÷ (π × درجه) = رادیان

۱۸۰ ÷ (۳/۱۴ × ۴۵) = رادیان

۱۸۰ ÷ (۳/۱۴۱) = رادیان

۷۸۵/۰ = رادیان

حال باید طول کمان را حساب کنیم:

۷۸۵/۰ × ۴ = طول کمان

طول کمان= ۳/۱۴

اکنون می‌توانیم از این عدد برای فرمول محیط قطاع استفاده کنیم:

(شعاع × ۲) + کمان = محیط قطاع

(۴ × ۲) + ۳/۱۴ = محیط قطاع

۱۴/۱۱ = محیط قطاع

• مثال محاسبه مساحت قطاع:

شعاع دایره‌ای ۱۲ سانتی‌متر است. اگر زاویه قطع آن ۳۰ درجه باشد، مساحت این قطاع چقدر است؟

ابتدا باید مساحت این دایره را به دست بیاوریم:

شعاع × شعاع × عدد پی = مساحت دایره

۱۲×۱۲×۳/۱۴=۱۶/۴۵۲

مساحت دایره: ۱۶/۴۵۲

مساحت دایره × نسبت زاویه مرکزی = مساحت قطاع

۰/۰۸×۴۵۲/۱۶=۳۶/۱۷

مساحت قطاع: ۱۷/۳۶

حال بیایید مساحت قطاع را با فرمول دیگر آن به دست آوریم:

(As=( θ÷۲)×(r×r

ابتدا باید درجه را به رادیان تبدیل کنیم:

۱۸۰ ÷ (π × درجه) = رادیان

۱۸۰ ÷ (۳/۱۴ × ۳۰)

۱۸۰ ÷ (۲/۹۴)= ۵۲/۰

حال می‌توانیم مساحت قطاع را حساب کنیم. با توجه به فرمول ابتدا باید شعاع را در خودش ضرب کنیم:

۱۲×۱۲=۱۴۴

سپس باید رادیان را تقسیم بر ۲ کنیم:

۰/۵۲÷۲=۰/۲۶

۰/۲۶×۱۴۴= ۳۷/۴۴

سخن نهایی

در این مقاله نحوه محاسبه محیط و مساحت دایره را آموزش دادیم. شکلی که کاربردهای زیادی در زندگی ما دارد. همان طور که مطالعه کردید، روش‌های مختلفی برای محاسبه مساحت و محیط دایره وجود دارد. شما می‌توانید با توجه به اطلاعاتی که از شکل دارید، از یکی از این روش‌ها برای محاسبه محیط یا مساحت استفاده کنید.