مقدمه
بسیاری از چیزهایی که هر روز می‌بینیم، به شکل مخروط هستند. نان مخروطی شکل بستنی، مخروط ترافیکی و کلاه تولد تنها چند نمونه رایج از شکل مخروط هستند. علیرغم اینکه این مخروط ها به وفور در زندگی روزمره ما وجود دارند، ممکن است هنوز در درک اصول مخروط ها در هندسه شکست بخوریم. برای آنکه به شما در درک بهتر تعریف، مفاهیم و فرمول‌های مخروط ها کمک کنیم، راهنمایی زیر را گردآوری آوری نموده‌ایم که امیدواریم برای دانش آموزان و دانشجویان عزیز مفید واقع شود.
مخروط چیست؟
مخروط یک شکل هندسی سه بعدی است که از یک قاعده مسطح (غالبا به شکل دایره) تشکیل شده است که تمام نقاط این دایره به نقطه مشترکی در بالا به نام رأس متصل می‌شوند. در واقع مخروط شکلی است که با استفاده از مجموعه‌ای از پاره خط‌ها یا خطوطی که یک نقطه مشترک به نام رأس را به تمام نقاط یک قاعده دایره‌ای (که شامل رأس نیست) وصل می‌کنند، ایجاد می‌شود. تعریف دیگری نیز برای مخروط عنوان شده است که از این قرار است: مخروط یک شکل سه بعدی است که از دوران یک مثلث قائم الزاویه حول ارتفاع حاصل می‌شود؛ با اینحال این تعریف تنها در مورد یک نوع مخروط صدق می‌کند.
اصطلاح «مخروط» از کلمه یونانی konos گرفته شده است که به معنای کوه یا قله است. سه عنصر اصلی مخروط عبارتند از شعاع، ارتفاع و ارتفاع مایل مخروط. شعاع مخروط به عنوان فاصله بین مرکز قاعده دایره‌ای تا هر نقطه از محیط قاعده تعریف می‌شود. فاصله رأس مخروط تا قاعده ارتفاع مخروط نامیده می‌شود و طول مخروط از رأس تا هر نقطه از محیط قاعده، ارتفاع مایل است. بر اساس این مقادیر، فرمول‌هایی برای مساحت سطح و حجم مخروط ایجاد شده است.
انواع مخروط
به طور کلی مخروط ها در سه دسته قرار می‌گیرند.
- مخروط قائم: به مخروطی گفته می‌شود که در آن تمام نقاط روی قاعده دایره‌ای شکل از رأس مخروط فاصله یکسانی دارند. از آنجایی که محور با قاعده مخروط زاویه قائمه تشکیل می‌دهد یا بر پایه مخروط عمود است، به آن مخروط قائم می‌گویند. این مخروط رایج‌ترین نوع مخروطی است که در هندسه به کار می‌رود.
- مخروط مایل (مورب): مخروطی که قاعده دایره‌ای دارد اما محور مخروط بر قاعده آن عمود نیست، مخروط مایل نامیده می شود. رأس این مخروط مستقیماً بالای مرکز قاعده مدور قرار ندارد. بنابراین، این مخروط شبیه یک مخروط مایل یا مخروط کج است. در واقع اگر از رأس این نوع مخروط خطی بر قاعده عمود کنیم، این خط از مرکز قاعده دایره‌ای شکل عبور نخواهد کرد.
- مخروط ناقص: مخروط ناقص همانطور که از نامش پیداست، مخروطی است که شکل کاملی ندارد. یعنی از قسمت بالا بریده شده است.
مساحت سطح مخروط
مخروط دارای دو سطح مسطح و منحنی است. وقتی در مورد سطح منحنی مخروط صحبت می‌کنیم، فقط به مساحت قسمت منحنی مخروط اشاره می‌کنیم، نه قاعده دایره ای. مساحت کل یک مخروط مجموع مساحت قاعده دایره‌ای و سطح منحنی آن است. اگر طول یال l در نظر گرفته شود:
مساحت منحنی یا سطح جانبی مخروط برابر است با πrl = A
مساحت قاعده که به شکل دایره است، معادل πr² می‌باشد.
بنابراین مساحت سطح مخروط عبارت است از مجموع این دو مساحت یعنی:
A= πr (l + r) = πrl + πr² سطح مخروط
حجم مخروط
حجم یک مخروط در هندسه مقدار فضایی است که مخروط اشغال می‌کند. حجم یک مخروط را می‌توان به عنوان ظرفیت مایعی که یک مخروط در صورت توخالی بودن از داخل می‌تواند در خود نگه دارد نیز تعریف کرد. از آنجایی که مخروط قاعده دایره‌ای دارد، می‌توانیم حجم مخروط را با اندازه گیری شعاع r و ارتفاع h به راحتی محاسبه کنیم.
V = ⅓ (πr²h)
حجم مخروط مایل
حجم یک مخروط مایل با شعاع r و طول قاعده h نیز همانند مخروط قائم می‌باشد؛ با اینحال نحوه محاسبه h متفاوت است.
V = ⅓ (πr²h)
فرمول حجم مخروط ناقص
همانطور که گفته شد مخروط ناقص به مخروطی گفته می‌شود که از بالا بریده شده است. بنابراین این مخروط دو قاعده دایره‌ای شکل دارد. اگر شعاع قاعده کوچک را r و شعاع قاعده بزرگ را R در نظر بگیریم و ارتفاع آن نیز h باشد، فرمول حجم مخروط ناقص به شکل زیر خواهد بود:
V = 1/3 × πh(R۲ + Rr + r۲)
مثال‌های مخروط
در این بخش به ارائه چند نمونه سوال در مورد مخروط می‌پردازیم تا با نحوه استفاده از فرمول‌های بالا آشنا شوید.
مثال ۱: حجم یک مخروط با r = 5 سانتی متر و h = 7 سانتی متر را پیدا کنید.
راه حل: از فرمول حجم مخروط V = ⅓ (πr²h) استفاده می‌کنیم.
V = ⅓ (πr²h) =⅓ ✕ ۳.۱۴ ✕ ۵ ✕ ۵ ✕ ۷ =⅓ ✕ ۵۴۹.۵ = ۱۸۳.۱۶ cm³
مثال ۲: مساحت سطح منحنی مخروطی را که شعاع قاعده آن ۸ سانتی متر و ارتفاع شیب آن ۲۴ سانتی متر است را محاسبه کنید.
راه حل: از فرمول A= πrl استفاده می‌کنیم و مقادیر داده شده را جایگذاری می‌نماییم.
A= ۳.۱۴ ✕ ۸ ✕ ۲۴ = ۶۰۲.۸۸ cm²
مثال ۳: یک کلاه تولد به شکل مخروط داریم. شعاع قاعده این کلاه ۸ سانتی متر و ارتفاع آن ۶ سانتی متر است. برای پوشاندن روی این کلاه با کاغذ رنگی به چند سانتی متر مربع کاغذ رنگی نیاز داریم؟
راه حل: آنچه سوال از ما می‌خواهد، محاسبه مساحت جانبی مخروط است. باید از فرمول A= πrl استفاده کنیم. اما لازم است ابتدا طول یال یعنی l را بدست آوریم.
طول یال را با استفاده از رابطه فیثاغورت محاسبه می‌کنیم:
سپس آن را در فرمول مساحت جانبی مخروط ( πrl = A ) قرار می‌دهیم:
A= πrl=۸۰π
جمع بندی
مخروط یک شکل هندسی سه بعدی است که قاعده دایره‌ای شکل دارد و شبیه یک قله بنظر می‌رسد. مخروط ها انواع مختلفی دارند: قائم، مایل و ناقص. در بخش‌های فوق با کاربردی‌ترین فرمول‌های مخروط آشنا شدید و چند مثال در مورد آنها را مرور کردید. برای تسلط بر مفاهیم و فرمول‌های مخروط لازم است علاوه بر حفظ فرمول، خواسته اصلی سوال را در نمونه سوالات مختلف تشخیص دهید تا بتوانید فرمول مناسب آن را بکار ببرید.
