فرمول اتحاد در ریاضی – همه اتحاد ها + مثال و حل تمرین

مقدمه

ریاضی دنیای شگفت‌انگیزی از الگوها، قاعده‌ها و فرمول‌هاست. یکی از مهم‌ترین و پرکاربردترین مفاهیمی که در ریاضی با آن روبه‌رو می‌شویم، اتحادهای ریاضی هستند. اتحادها به ما کمک می‌کنند تا ضرب‌های سخت را راحت‌تر انجام دهیم و عبارت‌های پیچیده را ساده کنیم. در واقع، با یاد گرفتن چند فرمول ساده، می‌توانیم سرعت و دقت خود را در حل مسائل ریاضی بالا ببریم.

در این مطلب، می‌خواهیم به زبان ساده و با مثال‌های زیاد، شما را با اتحادهای مهم در ریاضی آشنا کنیم. از «مربع دو جمله‌ای» گرفته تا «مزدوج» و «مکعب مجموع دو جمله»، همه را با توضیح، فرمول و مثال یاد می‌گیریم. اگر دوست دارید ریاضی را بهتر بفهمید و از آن لذت ببرید، این مطلب دقیقاً برای شما نوشته شده است.

اتحاد ریاضی چیست؟ 

اتحاد در ریاضی یعنی یک فرمول ثابت و همیشگی که برای همه عددها و حروف صدق می‌کند. وقتی می‌گوییم «اتحاد»، منظورمان این است که دو طرف یک تساوی، همیشه با هم برابر هستند، بدون توجه به اینکه به‌جای حروف، چه عددی قرار می‌دهیم.

برای مثال، فرمول زیر را در نظر بگیرید:

a + b)² = a² + 2ab + b²)

این یعنی هر وقت دو عدد یا حرف را با هم جمع کردیم و مربع گرفتیم، می‌توانیم از این فرمول استفاده کنیم تا آن را ساده‌تر بنویسیم. به این نوع فرمول‌ها می‌گوییم اتحاد.

اتحادها مثل میان‌برهای ریاضی هستند؛ به‌جای اینکه ضرب‌های سخت را به صورت دستی انجام دهیم، با کمک این فرمول‌ها می‌توانیم سریع‌تر و راحت‌تر به جواب برسیم.

چرا اتحادها در ریاضی مهم هستند؟ 

اتحادهای ریاضی ابزارهایی هستند که به ما کمک می‌کنند محاسبه‌های طولانی را سریع‌تر و دقیق‌تر انجام دهیم. اگر بخواهیم دو عبارت جبری را در هم ضرب کنیم، ممکن است کار خیلی زمان‌بر و خسته‌کننده‌ای باشد. اما با استفاده از اتحادها، می‌توانیم خیلی سریع‌تر به جواب برسیم.

برای مثال، فرض کنید بخواهیم عبارت زیر را محاسبه کنیم:

x + 3)²)

اگر بخواهیم این ضرب را به صورت کامل انجام دهیم، باید آن را به صورت:

(x + 3)(x + 3)

بنویسیم و سپس با روش معمولی، آن را ضرب کنیم. اما اگر اتحاد مربع دو جمله‌ای را بلد باشیم، خیلی راحت‌تر و سریع‌تر می‌نویسیم:

x + 3)² = x² + 2×x×3 + 3² = x² + 6x + 9)

همان‌طور که می‌بینید، با استفاده از اتحادها می‌توانیم بدون انجام ضرب کامل، خیلی زود به جواب برسیم.

از اتحادها در ساده‌سازی عبارت‌ها، حل معادله‌ها، تجزیه چندجمله‌ای‌ها و حتی در فیزیک و مهندسی هم استفاده می‌شود. پس یادگیری آن‌ها نه‌تنها در درس ریاضی، بلکه در خیلی از موضوعات دیگر هم به ما کمک می‌کند.

1. اتحاد مربع دو جمله‌ای مثبت

فرمول:
a + b)² = a² + 2ab + b²)

این اتحاد یعنی اگر جمع دو جمله را در خودش ضرب کنیم، حاصل برابر است با:

• مربع جمله اول،
• جمع آن با دو برابر ضرب دو جمله،
• و در آخر مربع جمله دوم.

چرا این اتحاد مفید است؟
وقتی بخواهیم عبارتی مثل x + 7)²) را سریع ضرب کنیم، به‌جای اینکه بنویسیم (x + 7)(x + 7) و تک‌تک ضرب کنیم، با این فرمول خیلی راحت می‌توانیم حاصل را به‌دست بیاوریم. این اتحاد در حل معادلات درجه دوم خیلی کاربرد دارد.

مثال:
x + 5)² = x² + 2×x×5 + 25 = x² + 10x + 25)

2. اتحاد مربع دو جمله‌ای منفی

فرمول:
a – b)² = a² – 2ab + b²)

این اتحاد تقریباً شبیه اتحاد قبلی است، فقط چون بین a و b علامت منفی داریم، وسط فرمول هم منفی می‌شود. یعنی داریم:

• مربع جمله اول،
• منهای دو برابر ضرب دو جمله،
• به‌علاوه مربع جمله دوم.

کاربرد:
این اتحاد به ما کمک می‌کند ضرب‌هایی مثل (x – 3)(x – 3) را خیلی سریع انجام دهیم، بدون ضرب طولانی.

مثال:
x – 4)² = x² – 2×x×4 + 16 = x² – 8x + 16)

3. اتحاد مزدوج

فرمول:
a + b)(a – b) = a² – b²)

در این اتحاد، دو عبارت یکی با جمع و یکی با تفاضل هستند. وقتی آن‌ها را در هم ضرب کنیم، حاصل برابر است با:

• مربع جمله اول منهای مربع جمله دوم.

چرا مهم است؟
با این اتحاد می‌توانیم ضرب‌های خاص را سریع انجام دهیم، مخصوصاً وقتی می‌خواهیم از شر رادیکال یا کسرها راحت شویم یا عبارت را ساده کنیم.

مثال:
x + 6)(x – 6) = x² – 36)

4. اتحاد مکعب مجموع دو جمله (چاق و لاغر)

فرمول:
a + b)³ = a³ + 3a²b + 3ab² + b³)

در این اتحاد، جمع دو جمله را به توان سه می‌رسانیم. این یعنی داریم:

• مکعب جمله اول،
• سه برابر مربع جمله اول ضرب در جمله دوم،
• سه برابر جمله اول ضرب در مربع جمله دوم،
  و در پایان مکعب جمله دوم.

یادگیری این اتحاد کمک می‌کند تا بتوانیم عبارت‌های توانی را ساده‌تر گسترش دهیم و الگوهای تکراری را تشخیص دهیم.

مثال:
x + 2)³ = x³ + 3x²×2 + 3x×4 + 8 = x³ + 6x² + 12x + 8)

5. اتحاد مکعب تفاضل دو جمله (چاق و لاغر)

فرمول:
a – b)³ = a³ – 3a²b + 3ab² – b³)

این اتحاد دقیقاً شبیه اتحاد قبل است، با این تفاوت که چون بین a و b علامت منفی داریم، در نتیجه علامت‌ها در فرمول هم به ترتیب مثبت، منفی، مثبت و منفی خواهند بود.
اتحاد مکعب تفاضل دو جمله برای گسترش سریع عبارت‌هایی مثل x – 1)³ )خیلی مفید است و ما را از ضرب‌های طولانی نجات می‌دهد.

مثال:
x – 1)³ = x³ – 3x² + 3x – 1)

اثبات اتحادهای ریاضی با مثال

1. اثبات اتحاد مربع دو جمله‌ای مثبت

فرمول:
a + b)² = a² + 2ab + b²)

اثبات:
برای اثبات این اتحاد، کافیست که عبارت a + b)²) را گسترش دهیم. به‌این‌ترتیب:

حال با استفاده از قانون توزیع، عبارت را گسترش می‌دهیم:

a + b)(a + b) = a(a + b) + b(a + b)= a² + ab + ab + b²)

حالا می‌توانیم دو عبارت ab را با هم جمع کنیم:

 a² + 2ab + b² =

که دقیقاً همان فرمولی است که می‌خواستیم اثبات کنیم.

مثال:
بیایید x + 4)²) را گسترش دهیم:

x + 4)² = x² + 2×x×4 + 4² = x² + 8x + 16)

2. اثبات اتحاد مربع دو جمله‌ای منفی

فرمول:
a – b)² = a² – 2ab + b²)

اثبات:
برای اثبات این اتحاد، مشابه مورد قبل عمل می‌کنیم و عبارت a – b)²) را گسترش می‌دهیم:

با استفاده از قانون توزیع، گسترش می‌دهیم:

a – b)(a – b) = a(a – b) – b(a – b) = a² – ab – ab + b²)

حالا دو عبارت -ab را با هم جمع می‌کنیم:

 a² – 2ab + b² =

که دقیقاً همان فرمولی است که می‌خواستیم اثبات کنیم.

مثال:
بیایید x – 3)² ) را گسترش دهیم:

x – 3)² = x² – 2×x×3 + 3² = x² – 6x + 9)

حل تمرین‌ برای یادگیری فرمول اتحاد در ریاضی

مسأله 1: گسترش عبارت

عبارت x + 3)²) را گسترش دهید.

حل:
طبق فرمول a + b)² = a² + 2ab + b²)

x + 3)² = x² + 2×x×3 + 3²)

 x² + 6x + 9 =

مسأله 2: گسترش عبارت

عبارت x – 4)² ) را گسترش دهید.

حل:
طبق فرمول a – b)² = a² – 2ab + b²)

 x – 4)² = x² – 2×x×4 + 4²)

 = x² – 8x + 16

مسأله 3: ضرب دو عبارت

عبارت (x – 5)(x + 5) را گسترش دهید.

حل:
طبق فرمول a + b)(a – b) = a² – b²)

x + 5)(x – 5) = x² – 5²)

  x² – 25 =

مسأله 4: گسترش مکعب یک عبارت

عبارت x + 2)³ ) را گسترش دهید.

حل:
طبق فرمول a + b)³ = a³ + 3a²b + 3ab² + b³)

x + 2)³ = x³ + 3x²×2 + 3x×2² + 2³)

 x³ + 6x² + 12x + 8 =

مسأله 5: گسترش مکعب یک عبارت

عبارت x – 1)³ ) را گسترش دهید.

حل:
طبق فرمول a – b)³ = a³ – 3a²b + 3ab² – b³)

x – 1)³ = x³ – 3x²×1 + 3x×1² – 1³)

 x³ – 3x² + 3x – 1 =

مسأله 6: گسترش مربع یک عبارت با سه جمله

عبارت x + 2 + 3)² ) را گسترش دهید.

حل:
طبق فرمول a + b + c)² = a² + b² + c² + 2ab + 2ac + 2bc)

x + 2 + 3)² = x² + 2² + 3² + 2×x×2 + 2×x×3 + 2×2×3)

 x² + 4 + 9 + 4x + 6x + 12=
 x² + 10x + 25=

مسأله 7: جمع دو مکعب

عبارت x³ + 8 را به‌صورت حاصل‌ضرب دو عبارت ساده بنویسید.

حل:
طبق فرمول( a³ + b³ = (a + b)(a² – ab + b²

x³ + 8 = (x + 2)(x² – x×2 + 2²)
 (x² – 2x + 4)(x + 2)=

مسأله 8:  عبارت x³ – 27 را به‌صورت حاصل‌ضرب دو عبارت ساده بنویسید.

حل:
طبق فرمول ( a³ – b³ = (a – b)(a² + ab + b²:

x³ – 27 = (x – 3)(x² + x×3 + 3²)
 (x – 3)(x² + 3x + 9)=