فرمول محیط متوازی الاضلاع چیست؟ — معرفی انواع فرمول ها

برای بدست آوردن فرمول محیط متوازی الاضلاع نیاز به اندازه اضلاع، ارتفاع، زوایا و قطرهای متوازی الاضلاع داریم. در این مطلب انواع فرمول برای محاسبه محیط متوازی الاضلاع را به شما عزیزان معرفی می‌کنیم اما پیش از آن بهتر است کمی با این چهار ضلعی و خصوصیاتش آشنا شویم. پس تا انتهای این مطلب همراه ما باشید.

متوازی الاضلاع و خصوصیات آن

متوازی الاضلاع یک چهار ضلعی است که اضلاع مقابل آن موازی و مساوی هستند. متوازی الاضلاع به سه نوع اصلی مربع، مستطیل و لوزی طبقه بندی می‌شود که هر کدام ویژگی‌های منحصر به فرد خود را دارند. زاویه بین اضلاع مجاور یک متوازی الاضلاع ممکن است متفاوت باشد، اما اضلاع مقابل موازی و با طول برابر هستند. 

خصوصیات متوازی الاضلاع

علاوه بر اینکه ویژگی‌ها و خصوصیات متوازی الاضلاع ما را در رسیدن به فرمول محیط متوازی الاضلاع یاری می‌کنند، ما می‌توانیم این چهار ضلعی را با کمک ویژگی‌های زیر شناسایی کنیم. به شکل زیر نگاه کرده و موارد زیر را در آن پیدا کنید.

• در متوازی الاضلاع اضلاع مقابل موازی هستند. در تصویر بالا، PQ ‖ RT و PR ‖ QT.
• اضلاع مقابل متوازی الاضلاع با هم برابرند. در تصویر بالا  PQ = RT و PR = QT
• زوایای مقابل متوازی الاضلاع با هم برابرند. در تصویر بالا زاویه = T زاویه P و زاویهR=  Qزاویه  
• قطرهای متوازی الاضلاع همدیگر را نصف می‌کنند اما لزوماً عمود منصف نیستند. در تصویر بالا  RE = EQ و PE = ET
• زوایای داخلی و مجاور مکمل یکدیگر هستند. در تصویر بالا  ، ∘PRT + RTQ = 180  و  RTQ + TQP = ∘180  و  ∘TQP + QPR = 180  و  ∘QPR + PRT = 180.
• قطرها متوازی الاضلاع را به دو مثلث هم نهشت تقسیم می‌کنند. در تصویر بالا  ΔRPQ با ΔQTR و ΔRPT با ΔQTP مطابق است.

محیط متوازی الاضلاع

متوازی الاضلاع شکل چهارضلعی بسته‌ای است که از چهار پاره خط تشکیل شده است. بنابراین محیط متوازی الاضلاع طول خط پیوسته‌ای است که دور این شکل هندسی می‌چرخد. به زبان ساده می‌توان گفت که محیط متوازی الاضلاع برابر است با مجموع چهار ضلع آن.

ممکن است همیشه همه اضلاع متوازی الاضلاع را نشناسیم و ابعاد آن در صورت مسئله مشخص نباشد. در این صورت اطلاعات دیگری در مورد متوازی الاضلاع به ما داده می‌شود و ما طبق این داده‌ها باید محیط آن را پیدا کنیم. بنابراین، فرمول‌های مختلفی برای محاسبه محیط متوازی الاضلاع وجود دارد. در بخش بعدی انواع فرمول‌ محاسبه محیط متوازی الاضلاع را بررسی کرده و پس از آن برای درک بهتر این فرمول‌ها با کمک چند مثال حل شده به بررسی نحوه محاسبه محیط در متوازی الاضلاع می‌پردازیم.

انواع فرمول محاسبه محیط متوازی الاضلاع

محیط متوازی‌الاضلاع نشان‌دهنده مجموع اندازه اضلاع آن است. در واقع برای محاسبه محیط یک متوازی‌الاضلاع، باید طول همهٔ ضلع‌های آن را با هم جمع کرد. اما فرمول‌های محیط متوازی الاضلاع بنابر نوع داده‌ها و اطلاعاتی که ما از متوازی الاضلاع داریم، متفاوت است. به طور کلی فرمول محیط متوازی الاضلاع بنابر 3 حالت زیر متفاوت است:

1. هنگامی که اندازه دو ضلع مجاور مشخص باشند.
2. وقتی یک اندازه ضلع و قطرها مشخص باشند.
3. وقتی اندازه ضلع، ارتفاع و زاویه داخلی مشخص باشند.

محیط فرمول متوازی الاضلاع بر اساس اضلاع

همانطور که قبلاً گفته شد، محیط متوازی الاضلاع مجموع طول تمام اضلاع آن است. از سوی دیگر می‌دانیم که اضلاع مقابل متوازی الاضلاع با هم برابرند. اگر  دو ضلع مجاور متوازی الاضلاع را “a” و “b” در نظر بگیریم، آنگاه دو ضلع مجاور دیگر نیز “a” و “b” خواهند بود.

بنابراین فرمول محاسبه محیط متوازی‌الاضلاع بر اساس طول اضلاع آن به صورت زیر است:

 محیط متوازی الاضلاع  = 2 × (طول ضلع افقی + طول ضلع عمودی)

برای مثال، فرض کنید یک متوازی‌الاضلاع با طول 6 متر و عرض 4 متر داریم. برای محاسبه محیط این متوازی‌الاضلاع، ابتدا باید طول و عرض را در فرمول بالا قرار دهیم. بنابراین: 

محیط متوازی الاضلاع  = 2 × (6 + 4) = 2 × 10 = 20

پس محیط این متوازی‌الاضلاع برابر با 20 متر است. اما همانطور که پیشتر نیز اشاره کردیم، فرمول‌های دیگری نیز برای محاسبه محیط این چهار ضلعی وجود دارد که در ادامه به آنها اشاره خواهیم کرد.

فرمول محیط متوازی الاضلاع براساس یک ضلع و قطر

اجازه دهید متوازی الاضلاع با اضلاع “a” و “b” و قطرهای “x” و “y” در نظر بگیریم. فرض کنید که در صورت مسئله مقادیر ضلع ‘a’، و قطرهای ‘x’ و ‘y’ داده شده اما مقدار ‘b’ داده نشده است و ما می‌خواهیم محیط متوازی الاضلاع را پیدا کنیم.

بنابراین به فرمولی نیاز داریم که از ما فقط طول یک ضلع و قطرهای متوازی الاضلاع مذکور را بخواهد. برای رسیدن به این فرمول مراحل زیر را باید طی کنیم.

1. اعمال قانون کسینوس برای مثلث ABD

x2 = a2 + b2 – 2ab cos ∠BAD

1. اعمال قانون کسینوس برای مثلث ADC

y2 = a2 + b2 – 2ab cos ∠ADC

1. جمع کردن دو معادله بالا
2. x2 + y2 = 2a2 + 2b2 – 2ab (cos ∠BAD + cos ∠ADC)
3. می‌دانیم که هر دو زاویه مجاور متوازی الاضلاع مکمل هستند. بنابراین:

∠BAD + ∠ADC = 180°

∠BAD = 180° – ∠ADC

1. کسینوس را در هر دو طرف معادله اعمال می‌کنیم:

cos ∠BAD = cos (180° – ∠ADC) = – cos ∠ADC

1. x2 + y2 = 2a2 + 2b2 – 2ab ( – cos ∠ADC + cos ∠ADC)
2. x2 + y2 = 2a2 + 2b2 – 2ab (0)
3. x2 + y2 = 2a2 + 2b2
4. بدین ترتیب ما رابطه بین اضلاع و قطر متوازی الاضلاع را بدست آوردیم. حالا باید طول ضلع ‘b’ را بدست آوریم. بنابراین:
5. 2b2 = x2 + y2 – 2a2
6. b2 = (x2 + y2 – 2a2) / 2
7. b = √ [(x2 + y2 – 2a2) / 2]
8. اکنون اندازه اضلاع متوازی الاضلاع (‘a’ و ‘b’) را می‌دانیم و از این رو می‌توانیم از فرمول بخش قبل برای یافتن محیط آن (P) استفاده کنیم. بنابراین:
9. P = 2a + 2b
10. P = 2a + 2 √ [(x2 + y2 – 2a2) / 2]
11. P = 2a + √[2(x2 + y2 – 2a2)
12. P = 2a + √(2x2 + 2y2 – 4a2)

پس فرمول محاسبه محیط متوازی الاضلاع بر اساس طول 1 ضلع و قطرهای آن به شرح زیر است:

P = 2a + √(2x2 + 2y2 – 4a2)

فرمول محیط متوازی الاضلاع بر اساس قاعده، ارتفاع و زاویه 

حال بیایید متوازی الاضلاعی را در نظر بگیریم که یکی از اضلاع آن ‘a’، ارتفاع متناظر آن ‘h’ و یکی از زوایای رأس آن ‘θ’ باشد. فرض کنید ضلع مجهول متوازی الاضلاع ‘b’ باشد.

برای بدست آوردن فرمول محیط متوازی الاضلاع بر اساس قاعده، ارتفاع و یک زاویه ابتدا باید مقدار ‘b’ را بدست آورده و سپس محیط متوازی الاضلاع را پیدا کنیم. بنابراین باید مراحل زیر را طی کنیم.

1. اعمال سینوس به مثلث BEC
2. sin θ = h/b
3. b = h / sin θ

از آنجایی که محیط متوازی الاضلاع برابر است با  P = 2a + 2b ،

1. P = 2a + 2h / sin θ

نکته: θ لازم نیست زاویه خاصی از متوازی الاضلاع باشد. این زاویه می‌تواند زاویه هر رأسی باشد زیرا هر دو زاویه مجاور متوازی الاضلاع مکمل هستند.

پس فرمول محاسبه محیط متوازی الاضلاع بر اساس طول  قاعده، ارتفاع نظیر و زاویه به شرح زیر است:

P=2a+2hsin

فرمول محاسبه محیط متوازی الاضلاع براساس قاعده ، ارتفاع نظیر و مساحت

یکی دیگر از راه‌های بدست آوردن محیط متوازی الاضلاع، استفاده از مقدار و اندازه یکی از اضلاع، مساحت و ارتفاع نظیر آن ضلع است.

اگر ارتفاع متوازی الاضلاع را h و قاعده آن را b در نظر بگیریم، مساحت متوازی الاضلاع از طریق فرمول زیر بدست می‌آید:

S=bh

پس از آن کافیست مقدار مساحت متوازی الاضلاع را در فرمول زیر قرار دهیم تا محیط متوازی الاضلاع به دست آید:

P=2a+2Ah

جدول فرمول‌های جبری محیط متوازی الاضلاع

در جدول زیر به صورت خلاصه تمامی انواع فرمول‌ محاسبه محیط متوازی الاضلاع را آورده‌ایم.

تمرین

با حل تمرینات زیر مبحث محاسبه محیط متوازی الاضلاع را به خوبی یاد گرفته و به خاطر بسپارید. 

تمرین 1

محیط متوازی الاضلاعی را پیدا کنید که اضلاع مجاور آن 5 متر و 9 متر است.

حل تمرین 1

طبق داده‌های مسئله =a  5 متر  وb    = 9  متر است. فرمول محیط متوازی الاضلاع براساس اندازه دو ضلع برابر است با:

P = 2 (a + b)

بنابراین:

2 (5+9) = 28

جواب صحیح 28 متر است.

تمرین 2

محیط متوازی الاضلاع را بیابید که یکی از اضلاع آن 7 متر و قطرهای آن به ترتیب 8 و 10 متر باشد.

حل تمرین 2

با استفاده از فرمول محاسبه متوازی الاضلاع براساس یک ضلع و قطر، داده‌های مسئله را جاگذاری می‌کنیم.

فرمول محیط متوازی الاضلاع:

P=2a+2x2+2y2-4a2

طبق داده‌های مسئله a= 7، x = 8 و y = 10 متر است. این مقادیر را  در فرمول بالا جایگزین می‌کنیم:

= 2 × 7 + √(2(8)2 + 2(10)2 – 4(7)2)

= 14 + √(2 × 64 + 2 × 100 – 4 × 49)

= 14 + √(128 + 200 – 196)

= 14 + √(132)

بنابراین جواب صحیح 25.49 متر است.

تمرین 3

اگر ارتفاع یک متوازی الاضلاع 20 سانتی متر، زاویه رأس آن 45 درجه و یکی از اضلاع آن 12 سانتی متر باشد، محیط متوازی الاضلاع چقدر است ؟

حل تمرین 3

با توجه به داده‌های مسئله باید از فرمول زیر محیط را بدست آوریم:

P=2a+2hsin

بنابراین:

     P=2 × 12 + 2 × 20 /  sin  45

P =2 (24 + 40) 

P=  104 سانتی متر

در آخر

با استفاده از فرمول مناسب برای محاسبه محیط متوازی‌الاضلاع، شما می‌توانید به راحتی مجموع اضلاع این چهار ضلعی را بدست آورید. پیدا کردن محیط متوازی الاضلاع در حل مسائل هندسی و همچنین در زندگی روزمره بسیار کاربرد دارد. در این مطلب 4 فرمول محیط متوازی الاضلاع را به شما معرفی و برای هرکدام مثال و تمرینی آوردیم. این مطلب را با دقت بخوانید و آن را به دوستانتان نیز معرفی کنید.