اعداد گویا چیست؟ ریاضی به زبان ساده

مقدمه

در این مطلب می‌خواهیم به زبان ساده اعداد گویا و خصوصیات آن را به شما عزیزان معرفی کنیم. همچنین با انواع اعداد گویا آشنا می‌شویم و چگونگی تفریق، جمع، ضرب و تقسیم اعداد گویا را به صورت مرحله مرحله توضیح خواهیم داد. پس تا انتهای این مطلب همراه ما باشید.

اعداد گویا چیست؟

اعداد گویا را در زبان انگلیسی با نام Rational Numbers می‌شناسند. جالب است بدانید که کلمه « Rational » از کلمه « Ratio » به معنای نسبت سرچشمه گرفته است. به همین دلیل نیز اعداد گویا به خوبی با مفهوم کسری که نشان دهنده نسبت است، مرتبط هستند. به عبارت دیگر، اگر عددی را بتوان به صورت کسری بیان کرد که در آن صورت و مخرج هر دو اعداد صحیح باشند، آن عدد یک عدد گویا است. بنابراین اعداد گویا کسری به شکل p/q هستند که p و q هر دو عدد صحیح و q ≠ 0 باشند. این بدان معناست که اعداد گویا شامل اعداد طبیعی، اعداد صحیح، اعداد کامل و کسری از اعداد صحیح و اعشاری هستند. در ادامه با مثال‌هایی از اعداد گویا با خصوصیات این اعداد و نحوه تشخیص اعداد گویا بیشتر آشنا می‌شویم.

تعریف اعداد گویا در ریاضیات

در زبان ریاضی عدد گویا به عددی می‌گویند که به شکل p/q باشد. p و q اعداد صحیح هستند و q برابر با 0 نیست.

مجموعه اعداد گویا

مجموعه اعداد گویا با نماد Q نشان داده می‌شود. لازم به ذکر است که اعداد گویا شامل اعداد طبیعی، اعداد صحیح، اعداد کامل و اعشاری است. برای درک بیشتر این اعداد، به مثال‌های زیر توجه کنید.

نمونه‌هایی از اعداد گویا

همانطور که پیشتر نیز توضیح دادیم اگر عددی را بتوان به صورت کسری بیان کرد که در آن صورت و مخرج هر دو اعداد صحیح باشند، آن عدد یک عدد گویا است. به چند نمونه از اعداد گویا توجه کنید.

• 56 (که می تواند به صورت کسر 561 نوشته شود)
• 0 (که شکل دیگری از کسر 01 است)
• کسر 12
• 16√ که برابر با 4 است
• کسر 34–
• 0.3 یا  3/10
• 0.7- یا 7/10-
• 0.141414… یا 14/99

یک سوال پرکاربرد: آیا 0 یک عدد گویا است؟

بله، 0 یک عدد گویا است زیرا می توان آن را به صورت کسری از اعداد صحیح مانند 0/1 یا 0/2– و… نوشت. به عبارت دیگر0/2– = 0 و 0/1  = 0.

انواع اعداد گویا

انواع اعداد گویا به شرح زیر است.

1. اعداد صحیحی مانند 2-، 0، 3 و غیره اعداد گویا هستند.
2. کسری که صورت و مخرج آن اعدادی صحیح است مانند 3/7، 6/5– و غیره اعداد گویا هستند.
3. اعداد اعشاری مختوم مانند 0.35، 0.7116، 0.9768 و غیره اعداد گویا هستند.
4. اعداد اعشاری متناوب مرکب مانند …0.333، … 0.141414 و غیره، اعداد گویا هستند. 

چگونه اعداد گویا را شناسایی کنیم؟

اعداد گویا را می‌توان به راحتی و با کمک ویژگی‌های زیر شناسایی کرد. بنابراین اگر در صورت مسئله از شما خواسته شده بود که از بین لیست اعداد، اعداد گویا را انتخاب کنید کافیست موارد زیر را بررسی کنید.

1. همه اعداد صحیح، اعداد کامل، اعداد طبیعی و کسرهای با صورت و مخرج اعداد صحیح، جزو اعداد گویا محسوب می‌شوند.
2. اگر اعداد اعشاری مختوم یا متناوب مرکب باشد مانند 5.6 یا 2.141414، اعداد گویا هستند.
3. در صورتی که اعداد اعشاری بی پایان یا غیر تکرار شونده به نظر می‌رسند، به این اعداد، اعداد گنگ می‌گویند. برای مثال  5√ برابر است با  … 2.236067977499789696409173که یک عدد گنگ است. این اعداد در گروه اعداد گویا قرار نمی‌گیرند. 

مثال 1

آیا … 0.923076923076923076923076923076یک عدد گویا است؟

راه حل 1

عدد داده شده دارای مجموعه‌ای از اعشار 923076 است که تکرار می‌شود، بنابراین این عدد یک عدد اعشاری متناوب مرکب است و یک عدد گویا محسوب می‌شود.

مثال 2

آیا 2√ یک عدد گویا است؟

راه حل 2

اگر مقدار اعشاری 2√ را بنویسیم عدد ….1.414213562 بدست می‌آ‌ید که یک عدد گنگ است. بنابراین، 2√ یک عدد گویا نیست. 

اعداد گویا و چهار عمل اصلی

حال که با اعداد گویا و انواع آن آشنا شدیم، بد نیست نحوه انجام چهار عمل اصلی یعنی جمع، تفریق، ضرب و تقسیم روی اعداد گویا را نیز یاد بگیریم.

جمع و تفریق اعداد گویا

همانطور که پیشتر هم توضیح دادیم عدد گویا کسری است که صورت و مخرج آن عدد صحیح باشد. به همین دلیل نیز برای جمع و تفریق اعداد گویا از همان قوانین جمع و تفریق اعداد صحیح استفاده می‌کنیم. اجازه دهید جمع و تفریق اعداد گویا را با کمک یک مثال توضیح دهیم.

مثال

پاسخ صحیح   را بنویسید.

راه حل

اجازه دهید با استفاده از مراحل زیر این مسئله را حل کنیم:

مرحله 1

ابتدا باید معادله     را ساده کنیم، بنابراین از قاعده جمع و تفریق اعداد پیروی می‌کنیم. بنابراین:

مرحله 2

اکنون باید این کسرها را با هم جمع کنیم. بنابراین باید مخرج مشترک دو کسر را گرفته و این کسرها را یکسان کنیم تا عمل جمع کردن آسان‌تر شود. برای این کار ابتدا باید کوچکترین مضرب مشترک بین 2 و 3 را بدست آوریم که عدد 6 است. سپس کافیست کسر 1/2 را در 3 و کسر 2/3 را در 2 ضرب کنیم. پس:

مرحله 3

حالا مخرج را نگه داشته و فقط صورت کسرها را با هم جمع می‌کنیم. به این ترتیب 

پاسخ صحیح، یا  است.

نکته: عمل تفریق اعداد گویا نیز مشابه عمل جمع اعداد گویاست و برای تفریق این اعداد مراحل بالا تکرار می‌شود.

ضرب و تقسیم اعداد گویا

ضرب و تقسیم اعداد گویا را می‌توان به همان روش ضرب و تقسیم کسرها انجام داد. 

ضرب عدد گویا

برای ضرب دو عدد گویا، صورت و مخرج آنها را جداگانه ضرب کرده و کسر حاصل را ساده می‌کنیم. اجازه دهید با کمک یک مثال ضرب و تقسیم اعداد گویا را بهتر درک کنیم.

مثال

حاصل ضرب  را بنویسید.

راه حل

برای این مسئله باید مراحل زیر را طی کنیم:

مرحله 1

برای ضرب این دو عدد گویا ابتدا صورت‌ها را ضرب و سپس مخرج‌ها را در هم ضرب می‌کنیم. بنابراین 3×-2=-6

مرحله 2

با ضرب مخرج‌ها در هم عبارت زیر بدست می‌آید. 5 × 7 = 35 

مرحله 3

بنابراین حاصلضرب این دو کسر 35/6- می شود.

تقسیم عدد گویا

اگر بخواهیم دو کسر یا دو عدد گویا را تقسیم کنیم، صورت کسر اول را در مخرج کسر دوم و مخرج کسر اول را در صورت کسر دوم ضرب می‌کنیم. اجازه دهید تقسیم اعداد گویا را با کمک یک مثال توضیح دهیم.

مثال

حاصل عبارت روبرو را بنویسید:

راه حل

برای حل این مسئله به مراحل زیر توجه فرمایید:

مرحله 1

برای تقسیم این دو کسر بر یکدیگر، ابتدا کسر دوم را وارونه می‌نویسیم و به جای علامت تقسیم، علامت ضرب می‌گذاریم. پس:

مرحله 2

اکنون، صورت کسرها را در هم ضرب می‌کنیم. بنابراین  3 × 7 = 21 

مرحله 3

در این مرحله مخرج‌ها را در هم ضرب می‌کنیم. حاصل 5 × 2 = 10 خواهد شد. 

بنابراین پاسخ صحیح  یا می‌شود.

تفاوت بین اعداد گویا و اعداد گنگ

اعدادی که جزو اعداد گویا نیستند، اعداد گنگ نامیده می‌شوند. مجموعه اعداد گنگ در ریاضیات با ‘ Q نمایش داده می‌شود. تفاوت بین اعداد گویا و گنگ را می‌توان از تصویر و جدول زیر بهتر درک کرد.

در آخر

در این مطلب تمام اطلاعاتی که باید در مورد اعداد گویا بدانید را به زبانی ساده بیان کردیم. از تعریف اعداد گویا و انواع مختلف آن گرفته تا جمع، تفریق، ضرب و تقسیم اعداد گویا. پیشنهاد می‌کنیم این مطلب را با دقت مطالعه کرده و برای درک بهتر این مبحث تمرینات و مثال‌ها را مرور کنید. حال با توجه به مطالبی که خواندید برای ما بنویسید که 5/31- یک عدد گویا است یا خیر.