ارتفاع چیست؟ – ارتفاع در اشکال هندسی به زبان ساده

حتماً شما هم بارها واژه ارتفاع را شنیده‌اید. ما این واژه را زیاد به کار می‌بریم، ارتفاع کمد، ارتفاع صندلی، ارتفاع کوه و… . اشکال مختلفی دارای ارتفاع هستند. ارتفاع در اشکال هندسی دوبعدی و اشکال هندسی سه‌بعدی می‌تواند متفاوت باشد. در این مقاله می‌خواهیم چیستی ارتفاع، نوع آن در اشکال هندسی مختلف و نحوه محاسبه آن را توضیح دهیم. با ادامه این مطلب ما را همراهی کنید.

منظور از ارتفاع در اشکال هندسی دوبعدی چیست؟

ممکن است در ابتدا این سؤال برای شما پیش بیاید که منظور از اشکال هندسی دوبعدی چیست؟ به اشکالی مانند مربع، مثلث، لوزی، ذوزنقه، مستطیل و… اشکال دوبعدی چندضلعی گفته می‌شود. ارتفاع این اشکال هم همان پاره‌خطی است که از یک رأس شکل به ضلع مقابل می‌رسد. زاویه‌های ایجاد شده با آن ضلع نیز زاویه راست یا نود درجه هستند. در ادامه ارتفاع را در اشکال هندسی مختلف بررسی می‌کنیم.

ارتفاع مثلث

ارتفاع مثلث نیز پاره خطی است که از یک رأس شکل بر ضلع دیگر عمود می‌شود. هر مثلث دارای 3 ارتفاع است. به اضلاعی که ارتفاع بر آنها عمود شده است، قاعده گفته می‌شود. در ادامه می‌توانید ارتفاع و قاعده مثلث را مشاهده کنید.

نحوه محاسبه ارتفاع مثلث

برای به دست آوردن اندازه ارتفاع مثلث می‌توانید از فرمول محاسبه مساحت مثلث استفاده کنید:

A= 1/2 bh

A: مساحت

b: قاعده

h: ارتفاع

برای به دست آوردن ارتفاع مثلث باید این فرمول را به گونه‌ای دیگر بازنویسی کنیم:

h=2A/b

با توجه به فرمول برای محاسبه ارتفاع مثلث باید مساحت را در 2 ضرب کنیم و سپس بر اندازه قاعده تقسیم کنیم.

مثلث انواع مختلفی دارد:

• مثلث متساوی‌الاضلاع

• مثلث متساوی‌الساقین

• مثلث مختلف‌الاضلاع

• مثلث حاده

• مثلث منفرجه

• مثلث قائم‌الزاویه

ارتفاع هر کدام از این مثلث‌ها به شکل خاص خود است. در ادامه ارتفاع هر کدام را بررسی می‌کنیم.

ارتفاع مثلث متساوی‌الاضلاع

مثلث متساوی‌الاضلاع دارای 3 ضلع یک اندازه است. در واقع همه چیز در این مثلث باهم برابر است، قاعده‌ها، ارتفاع‌ها و زوایای داخلی همگی یک اندازه هستند. هر 3 ارتفاع این مثلث درون شکل قرار می‌گیرند. 

فرمول محاسبه مساحت مثلث متساوی‌الاضلاع:

A=( (√3)÷ (3)) (h2)

A: مساحت مثلث متساوی‌الاضلاع

h: اندازه ارتفاع مثلث متساوی‌الاضلاع

اگر فرمول بالا را بر حسب h بنویسید، می‌توانید ارتفاع را به دست بیاورید.

نکته: از آنجایی که این نوع مثلث دارای اضلاع برابر است، برای محاسبه مساحت آن نیازی به داشتن اندازه قاعده نیست.

ارتفاع مثلث متساوی‌الساقین

در این نوع مثلث، 2 ضلع باهم برابر هستند. در صورتی که ارتفاع مثلث متساوی‌الساقین یک زاویه بزرگ‌تر از 90 درجه داشته باشد، 2 تا از ارتفاعات آن بیرون از مثلث قرار میگیرند. اگر چنین نباشد، هر 3 ارتفاع در داخل مثلث هستند. اندازه ارتفاع این مثلث را هم می‌توان با استفاده از فرمول مساحت مثلث به دست اورد. در واقع با کمک فرمول ارتفاع ضربدر قاعده تقسیم بر دو می‌توانید این کار را انجام دهید. 

ارتفاع مثلث مختلف‌الاضلاع

همان طور که از نامش پیداست، این مثلث دارای 3 ضلع با اندازه‌های متفاوت است. ارتفاع این مثلث را هم می‌توانید با فرمول مساحت مثلث به دست اورید. یک ارتفاع این مثلث درون آن و دو ارتفاع دیگر در بیرون آن قرار دارند. 

ارتفاع در مثلث حاده

این نوع مثلث دارای سه زاویه داخلی است که از 90 درجه کوچکتر هستند. به این زوایا حاده گفته می‌شود. هر 3 ارتفاع این مثلث درون آن قرار دارد. 

ارتفاع مثلث منفرجه

از ویژگی‌های این مثلث می‌توان به یک زاویه‌ای اشاره کرد که بزرگ‌تر از 90 درجه و کوچکتر از 180 درجه است. دو ارتفاع این مثلث بیرون از آن قرار می‌گیرند. این دو ارتفاع از راس‌های زاویه حاده که کمتر از 90 درجه است، کشیده میشوند. 

ارتفاع مثلث قائم‌الزاویه

این مثلث دارای یک زاویه داخلی 90 درجه است. این زاویه قائمه است و بر دو ضلع دیگر مثلث عمود می‌شود. با توجه به این تعریف ساق‌ها یا همان ضلعهایی که زاویه 90 درجه را تشکیل میدهند، دو ارتفاع این مثلث هستند.ارتفاع سوم هم درون مثلث قرار دارد که به آن وتر گفته می‌شود. 

به دو روش می‌توان اندازه ارتفاع این مثلث را به دست آورد.

روش اول:

۲ ÷ (ساق دوم × ساق اول) = مساحت مثلث قائم‌الزاویه

روش دوم:

c^ {۲} = a^ {۲} + b^ {۲}

فرمول بالا همان قضیه فیثاغورس است.

C: وتر مثلث

A: اندازه یکی از ساق‌ها برابر 10

B: اندازه ساق دوم برابر 10

نحوه محاسبه ارتفاع مثلث با قاعده و مساحت

همان طور که پیش‌تر اشاره کردیم شما می‌توانید اندازه ارتفاع مثلث را با داشتن اندازه قاعده و مساحت محاسبه کنید. در ادامه مثالی می‌آوریم تا بهتر متوجه شوید.

مساحت مثلث: 3

اندازه یکی از ضلع‌ها: 6

اندازه ارتفاع این مثلث را به دست اورید.

قاعده ÷ (مساحت × ۲) = ارتفاع مثلث

۶ ÷ (۳ × ۲) = ارتفاع مثلث

۶ ÷ (۶) = ارتفاع مثلث

۱ = ارتفاع مثلث

با توجه به محاسبات ارتفاع ضلع 6 سانتی‌متری برابر با 1 است. 

محاسبه ارتفاع مثلث با داشتن اندازه سه ضلع

فرض کنید اندازه اضلاع یک مثلث برابر با اعداد زیر است:

6،8،10

در این روش از فرمول هرون برای محاسبه مساحت مثلث استفاده می‌کنیم:

A=ss-as-bs-c

A: مساحت مثلث

S: نصف محیط مثلث

a: طول ضلع اول 

b: طول ضلع دوم 

c: طول ضلع سوم

از آنجایی که برای به دست آوردن محیط مثلث باید تمام اضلاع را با هم جمع کنیم:

ضلع سوم + ضلع دوم + ضلع اول = محیط مثلث

۱۰ + ۸ + ۶ = محیط مثلث

۲۴ = محیط مثلث

با توجه به فرمول هرون، باید محیط مثلث را بر 2 تقسیم کنیم:

12= 24/2

حال تمامی اعداد به دست آورده را در فرمول هرون جای‌گذاری می‌کنیم:

A=12*12-6*12-8*12-10

A^2=576

A=24

حال که اندازه مساحت را داریم، می‌توانیم اندازه ارتفاع را به دست بیاوریم:

قاعده ÷ (مساحت × ۲) = ارتفاع مثلث

قاعده اول ÷ (مساحت × ۲) = ارتفاع اول

۶ ÷ (۲۴ × ۲) = ارتفاع اول

۸ = ارتفاع اول

قاعده دوم ÷ (مساحت × ۲) = ارتفاع دوم

۸ ÷ (۲۴ × ۲) = ارتفاع دوم

۶ = ارتفاع دوم

قاعده سوم ÷ (مساحت × ۲) = ارتفاع سوم

۱۰ ÷ (۲۴ × ۲) = ارتفاع سوم

۴/۸ = ارتفاع سوم

پس ارتفاعات این مثلث برابر هستند با:

8

6

4/8

نکته: در این مثلث اندازه ارتفاع اول با قاعده دوم و اندازه ارتفاع دوم با قاعده اول برابر است.

ارتفاع متوازی‌الاضلاع

هر متوازی‌الاضلاع دارای 2 ارتفاع است. از این دو ارتفاع برای محاسبه مساحت این شکل استفاده می‌شود. 

مساحت متوازی‌الاضلاع برابر است با:

ارتفاع × قاعده = مساحت متوازی‌الاضلاع

منظور از قاعده متوازی‌الاضلاع نیز همان اضلاع متناظر با ارتفاع است. 

قاعده ÷ مساحت = ارتفاع متوازی‌الاضلاع

مثال:

مساحت متوازی الاضلاع: 6

اندازه دو ضلع مجاور: 3-4

اندازه دو ارتفاع را به دست اورید:

قاعده ÷ مساحت = ارتفاع متوازی‌الاضلاع

۳ ÷ ۶ = ارتفاع متوازی‌الاضلاع

۲ = ارتفاع متوازی‌الاضلاع

با توجه به محاسبات، ارتفاع نظیر ضلع 3 سانتی‌متری برابر است با 2. حال ارتفاع نظیر ضلع دیگر را به دست می‌آوریم:

۴ ÷ ۶ = ارتفاع متوازی‌الاضلاع

۱٫۵ = ارتفاع متوازی‌الاضلاع

با توجه به محاسبه بالا ارتفاع نظیر ضلع 4 سانتی‌متری برابر است با ۱٫۵

محاسبه ارتفاع ذوزنقه

برای محاسبه ارتفاع ذوزنقه باید از فرمول زیر استفاده کنید:

ارتفاع × نصف مجموع قاعده‌ها = مساحت ذوزنقه

در واقع ارتفاع ذوزنقه برابر است با:

نصف مجموع قاعده‌ها ÷ مساحت = ارتفاع ذوزنقه

حال فرض کنید مساحت یک ذوزنقه 40 سانتی متر است. اندازه قاعده‌های آن نیز 7 و 9 است. می‌خواهیم اندازه ارتفاع آن را محاسبه کنیم. با توجه به فرمول بالا: 

[۲ ÷ (۹ + ۷)] ÷ ۴۰ = ارتفاع ذوزنقه

[۲ ÷ (۱۶)] ÷ ۴۰ = ارتفاع ذوزنقه

[۸] ÷ ۴۰ = ارتفاع ذوزنقه

۵ = ارتفاع ذوزنقه

نحوه محاسبه ارتفاع در اشکال هندسی سه بعدی

برای به دست آوردن حجم یک شکل هندسی به اندازه ارتفاع آن نیاز داریم. اشکال سه بعدی مختلفی وجود دارند که در ادامه نحوه به دست آوردن ارتفاع در آنها را آموزش می‌دهیم.

• فرمول محاسبه ارتفاع مکعب:

خودش × یک ضلع = مساحت مربع = مساحت وجه مکعب

(مساحت وجه) ∨ = ارتفاع مکعب

• فرمول محاسبه ارتفاع مکعب مستطیل:

ارتفاع × عرض × طول = حجم مکعب مستطیل

(عرض × طول) ÷ حجم = ارتفاع مکعب مستطیل

• فرمول محاسبه ارتفاع منشور:

مساحت قاعده × ارتفاع = حجم منشور

مساحت قاعده ÷ حجم = ارتفاع منشور

• فرمول محاسبه ارتفاع استوانه:

مساحت قاعده × ارتفاع = حجم استوانه

مساحت دایره × ارتفاع = حجم استوانه

مساحت دایره ÷ حجم = ارتفاع استوانه

• فرمول محاسبه ارتفاع هرم:

۳ ÷ (مساحت قاعده × ارتفاع) = حجم هرم

مساحت قاعده ÷ (حجم × ۳) = ارتفاع هرم

نکته: برای محاسبه ارتفاع جانبی کافی است ارتفاع مثلث شکل‌دهنده هرم را محاسبه کنید و از فرمول محاسبه ارتفاع مثلث استفاده کنید.

• محاسبه ارتفاع مخروط:

مساحت قاعده × ارتفاع = حجم مخروط

مساحت دایره × ارتفاع = حجم مخروط

مثال:

ارتفاع هرم مربعی زیر را به دست آورید.

طول: 8

عرض:5

حجم: 80 متر مکعب

فرمول: مساحت قاعده ÷ (حجم × ۳) = ارتفاع هرم

مساحت مستطیل (قاعده هرم): عرض × طول = مساحت مستطیل = مساحت قاعده

۵ × ۸ = مساحت قاعده

۴۰ = مساحت قاعده

با توجه به محاسبات بالا:

۴۰ ÷ (۸۰ × ۳) = ارتفاع هرم

۴۰ ÷ (۲۴۰) = ارتفاع هرم

۶ = ارتفاع هرم

کلام آخر

در این مقاله به بررسی چیستی ارتفاع و نحوه محاسبه آن در اشکال مختلف هندسی پرداختیم. با داشتن فرمول‌ها و اندازه‌های لازم می‌توانید ارتفاع این اشکال را به دست اورید. بهترین راه برای یادگیری بهتر این محاسبات انجام تمرینات مختلف است.