شناخت درست اعداد مرکب و اعداد اول به شما کمک میکند درک بهتری از اعداد داشته باشید و مفاهیمی مانند بخشپذیری و مقسوم علیه را نیز به خوبی درک کنید. اعداد مرکب کاربرد بسیار زیادی در ریاضی دارند و حتی در علومی مانند کامپیوتر، آمار و نجوم نیز مورد استفاده قرار میگیرند. در این مقاله قصد داریم به توضیح مفهوم عدد مرکب بپردازیم و نحوه تشخیص این نوع اعداد را برای شما توضیح دهیم.
عدد مرکب چیست؟
عدد مرکب، هر عدد طبیعی است که به جز خودش و ۱، مقسوم علیههای دیگری نیز داشته باشد. برای مثال عدد ۱۰ یک عدد مرکب است؛ زیرا مقسوم علیههای آن شامل موارد زیر است:
- مقسوم علیههای ۱۰: ۱، ۲، ۵، ۱۰
همانطور که میبینید عدد ۱۰، غیر از خودش (۱۰) و ۱، مقسوم علیههای دیگری نیز دارد (۲ و ۵)؛ پس میتوانیم بگوییم ۱۰ یک عدد مرکب است.
به عبارت دیگر، عدد مرکب هر عددی است که بتوان آن را به صورت ضرب دو عدد دیگر (به جز ۱ و خودش) نوشت. برای مثال میتوان نوشت ۲ × ۵ = ۱۰؛ پس ۱۰ یک عدد مرکب است. یا به عبارت سادهتر چون ۱۰ بر اعدادی غیر از خودش و ۱ بخشپذیر است پس یک عدد مرکب است. در مقابل عدد مرکب، عدد اول قرار میگیرد که در ادامه به توضیح آن میپردازیم.
عدد اول چیست؟
عدد اول به هر عدد طبیعی گفته میشود که تنها ۲ مقسوم علیه داشته باشد (خودش و ۱) و بر هیچ عدد دیگری بخشپذیر نباشد. برای مثال عدد ۱۱ فقط بر خودش و ۱ بخشپذیر است و مقسوم علیه دیگری ندارد؛ بنابراین ۱۱ یک عدد اول است.
نکته: عدد ۱ یک استثنا است که نه مرکب است و نه اول است. زیرا فقط یک مقسوم علیه دارد (خودش).
مجموعه اعداد اول
تعداد اعداد اول بینهایت است؛ زیرا مجموعه اعداد طبیعی بینهایت است و هر چقدر بالاتر برویم، اعداد جدیدی نیز پیدا میشوند که اول هستند. اما اگر بخواهیم از ابتدا شروع کنیم، مجموعه اعداد اول به شکل زیر خواهد بود:
- P= {2, 3, 5, 7, 11, 13,…}
همانطور که مشخص است، عدد ۲ کوچکترین عدد اول است. زیرا فقط دو مقسوم علیه دارد (۱ و ۲) و بر هیچ عدد دیگری بخشپذیر نیست. به شکل مشابه سایر عضوهای این مجموعه نیز فقط دو مقسوم علیه دارند (خودشان و ۱).
مجموعه اعداد مرکب
مجموعه اعداد مرکب شامل عددهایی است که بیش از دو مقسوم علیه داشته باشند. مجموعه این اعداد به شرح زیر است:
- C= {4, 6, 8 , 10,…}
همانطور که به سادگی متوجه میشوید، هر یک از این اعداد علاوه بر خودشان و ۱، مقسوم علیههای دیگری نیز دارند که میتوانند با ضرب در یکدیگر این اعداد مرکب را به وجود آورند. برای مثال:
- ۲ × ۲ = ۴
- ۳ × ۲ = ۶
- ۴ × ۲ = ۸
- ۲ × ۵ = ۱۰
تفاوت عدد مرکب و عدد اول
تفاوت اصلی بین عدد مرکب و عدد اول در بخشپذیری آنها است. در حالی که اعداد مرکب بیشتر از دو مقسومعلیه دارند، اعداد اول فقط دو مقسومعلیه دارند ( خودشان و ۱).
برای شناخت بهتر این اعداد به نکتههای زیر توجه کنید:
- عدد ۲ کوچکترین عدد اول و تنها عدد زوجی است که اول است (زیرا سایر اعداد زوج بر ۲ بخشپذیر هستند و نمیتوانند اول باشند).
- به جز عدد ۱ که نه اول است و نه مرکب، هر عدد طبیعی که اول نباشد در دسته اعداد مرکب قرار میگیرد.
روش تشخیص عدد مرکب و عدد اول
تشخیص اینکه یک عدد اول است یا مرکب، به سادگی ممکن است. فرض کنیم از شما خواسته شده است که تعیین کنید عدد X اول است یا مرکب؛ برای این کار میتوانید به شکل زیر عمل کنید:
1. روش تقسیم
این روش ممکن است قدری زمانبر باشد؛ اما به هر حال روشی است که قابل استفاده است. برای این کار عدد X را به ترتیب بر اعداد کوچکتر از خود (به جز ۱) تقسیم کنید. اگر بر یکی از آنها بخشپذیر شد یعنی این عدد مرکب است؛ اما اگر بر هیچ کدام بخشپذیر نبود یعنی عدد اول است. باید این عدد را بهترتیب بر ۲، بر ۳، بر ۴ و… تقسیم کنید و هرجا که بخشپذیر بود فرایند را متوقف کنید.
مثال:
سوال ۱: آیا ۱۷ عدد اول است؟
پاسخ: ۱۷ را بر تمام اعداد ۱، ۲، ۳، ۴، ….، ۱۶ تقسیم میکنیم. از آنجا که بر هیچکدام بخشپذیر نیست، پس ۱۷ عدد اول است.
سوال ۲: آیا ۹۳ عدد اول است؟
پاسخ: ۹۳ بر ۲ بخشپذیر نیست؛ اما بر ۳ بخشپذیر است (۱۲ = ۹ + ۳)؛ نیازی به ادامه فرایند نیست و نتیجه میگیریم ۹۳ عدد مرکب است.
2. روش جذر
اگر جذر گرفتن بلد باشید کار شما خیلی راحتتر است. برای یک عدد طبیعی مانند X، میتوانید جذر آن را بگیرید و تمام اعداد اول کمتر از جذر X را پیدا کنید. اگر X بر هیچکدام از این اعداد بخشپذیر نباشد عدد اول است.
مثال:
سوال: آیا ۱۰۳ عدد اول است؟
پاسخ: اول جذر ۱۰۳ را محاسبه میکنیم که تقریبا برابر با ۱۰.۱ است (جذر حدودی هم در این موارد کافی است؛ همین که بدانید جذر آن بین ۱۰ و ۱۱ است کافی است). اعداد اول کمتر از ۱۰.۱ را پیدا میکنیم که شامل ۲، ۳، ۵ و ۷ است. حالا ۱۰۳ را به ترتیب بر این اعداد تقسیم میکنیم. از آنجا که ۱۰۳ بر هیچ کدام از این اعداد بخشپذیر نیست، پس نتیجه میگیریم ۱۰۳ یک عدد اول است.
۳- الگوریتم غربال
الگوریتم غربال یک روش مناسب برای پیدا کردن اعداد اول کوچکتر از X است؛ در ادامه مقاله این روش را به طور مفصل شرح خواهیم داد.
تجزیه عدد مرکب به عوامل اول
هر عدد مرکب از ضرب چند عدد اول به دست میآيد. ممکن است در سوالات از شما بخواهند که یک عدد مرکب مانند X را به عوامل اول آن تجزیه کنید. برای این کار لازم است مراحل زیر را طی کنید:
۱- یافتن اولین عامل اول
برای تجزیه عدد به عوامل اول، یک عدد اول را بیابید که X بر آن بخشپذیر باشد. (مثلا میتوانید از کوچکترین اعداد اول یعنی ۲، ۳، ۵، ۷ و… شروع کنید). هرجا که عدد شما بر یک عدد اول بخشپذیر شد، یعنی اولین عامل اول را پیدا کردهاید.
۲- تکرار فرآیند
پس از یافتن یک عامل اول، دوباره خارج قسمت به دست آمده را بر اعداد اول تقسیم کنید. این فرآیند را تا زمانی که خارج قسمت بر یک عدد اول بخشپذیر شود ادامه دهید. شما در این مرحله نیز یک عامل اول دیگر را مییابید. تا زمانی که انجام این فرایند امکانپذیر است، این چرخه را ادامه دهید. یعنی مجددا برای خارج قسمت جدید هم همین کار را تکرار کنید و بقیه عوامل اول را به دست آورید. سرانجام شما به یک خارج قسمت خواهید رسید که خود یک عدد اول است که آخرین عامل اول شما خواهد بود.
۳- ثبت عوامل اول
هنگامی که دیگر نمیتوانید خارج قسمت را به اعداد اول تقسیم کنید، تمام عوامل اول یافت شده را ثبت کنید.
۴- ترکیب عوامل
حاصل ضرب عوامل اول یافته شده برابر با عدد X شما است که در ابتدا داشتید.
مثال:
سوال: عوامل اول عدد ۲۰۴ را پیدا کنید.
پاسخ:
۱- اولین عامل اول را پیدا میکنیم
۲۰۴ زوج است؛ پس بر ۲ که یک عدد اول است بخشپذیر است:
۱۰۲ = ۲ ÷ ۲۰۴
۲- دوباره خارج قسمت را بر یک عامل اول تقسیم میکنیم.
۱۰۲ نیز یک عدد زوج است؛ پس بر ۲ بخشپذیر است:
۵۱ = ۲ ÷ ۱۰۲
خارج قسمت جدید نیز بر ۳ بخشپذیر است:
۱۷ = ۳ ÷ ۵۱
عدد ۱۷ یک عدد اول است؛ پس فرایند به اتمام میرسد.
۳- عوامل اول را ثبت و با هم ترکیب میکنیم:
۲ × ۲ × ۳ ×۱۷ = ۲۲× ۳ × ۱۷ = ۲۰۴
میتوانید روند انجام فرایند محاسبه عوامل اول را در تصویر زیر مشاهده کنید:
روش الگوریتم غربال برای پیدا کردن اعداد اول کوچکتر از X
الگوریتم غربال یک روش کارآمد برای یافتن اعداد اول است. این روش نیز از همان اصل بالا استفاده میکند؛ یعنی همان عبارت که هر عدد مرکب از حاصلضرب چند عدد اول ایجاد میشود. با استفاده از این اصل میتوانیم اعداد کوچکتر از X را پیدا کنیم. مراحل الگوریتم غربال به شرح زیر است:
- ابتدا یک لیست اعداد از ۱ تا X را ایجاد میکنیم و ۱ را همان ابتدا خط میزنیم.
- شروع به حذف اعداد غیر اول از لیست میکنیم. برای این کار، از اولین عدد اول (2) شروع میکنیم و همه مضربهای آن را خط میزنیم (به جز خود ۲ که دور آن خط دایرهای میکشیم).
- سپس به عدد اول بعدی در لیست میرویم (3) و همه ضرایب آن را خط میزنیم و دور خود ۳ خط دایرهای میکشیم.
- این فرآیند را تا جایی که به جذر X برسیم ادامه میدهیم.
- دور همه اعداد باقیمانده خط دایرهای میکشیم. این اعداد همه عدد اول هستند.
مثال:
اعداد اول کوچکتر از ۱۰۰ را پیدا کنید.
پاسخ:
- لیست اعداد از ۱ تا ۱۰۰ را مینویسیم و ۱ را در همان ابتدا خط میزنیم.
- جذر ۱۰۰ برابر است با ۱۰؛ پس با اعداد اول کوچکتر از ۱۰ کار داریم؛ یعنی: ۱، ۲، ۳، ۵ و ۷
- ضرایب اعداد اول کوچکتر از ۱۰ را خط میزنیم و دور خود آنها خط دایرهای میکشیم.
- دور اعداد باقیمانده خط میکشیم. این اعداد همگی عدد اول هستند.
در تصویر زیر میتوانید صورت حل شده این مسئله را مشاهده کنید:
جمع بندی
اعدادی که فقط دو مقسوم علیه داشته باشند (خودشان و ۱) به عنوان عدد اول شناخته میشوند. اعدادی مانند ۲، ۳، ۵ و… از جمله اعداد اول هستند. اما اعدادی که بیش از دو مقسوم علیه داشته باشند، به عنوان عدد مرکب شناخته میشوند. اعدادی مانند ۴، ۶، ۸، ۹ و… عدد مرکب هستند. اعداد مرکب را میتوان به صورت حاصل ضرب چند عدد اول نوشت به آنها عاملهای اول آن عدد مرکب میگویند. برای تشخیص و پیدا کردن اعداد مرکب و اول روشهای گوناگونی وجود دارد که تکنیک الگوریتم غربال رایجترین آنها است. در این مقاله به طور جامع در مورد اعداد مرکب و اعداد اول و خواص آنها صحبت کردیم. برای اطلاعات بیشتر میتوانید سایر مقالات ما را مطالعه کنید.
سوالات متداول
۱- چرا عدد ۱، عدد اول یا مرکب محسوب نمیشود؟
زیرا عدد اول باید دقیقا دو مقسوم علیه داشته باشد (خودش و ۱)؛ اما ۱ فقط یک مقسوم علیه دارد. از آنجا که اعداد مرکب نیز بیش از دو مقسوم علیه دارند، پس ۱ نمیتواند عدد مرکب نیز باشد.
۲- آیا هر عدد صحیح (مانند صفر) و حتی اعداد منفی نیز میتوانند عدد مرکب یا اول باشند؟
مرکب یا اول بودن اعداد، موضوعی است که برای اعداد طبیعی استفاده میشود. بنابراین اعداد مرکب و اول همگی باید مثبت باشند.
۳- آیا جمع دو عدد اول با الگوی خاصی همراه است؟
جمع دو عدد اول میتواند یک عدد زوج یا فرد باشد، اما هیچ الگوی خاصی در این مورد وجود ندارد و ممکن است خواص متفاوتی داشته باشند.
۴- بزرگترین عدد اول چیست؟
اعداد اول یک مجموعه نامتناهی هستند و همانطور که اعداد طبیعی ادامه پیدا میکنند، اعداد اول نیز ادامه خواهند داشت؛ اما بزرگترین عدد اولی که تاکنون به وسیله کامپیوترهای بسیار قوی شناخته شده است حدود ۲۴ هزار رقم دارد!