محاسبه قطر متوازی الاضلاع — فرمول های محاسبه
اگر دقت کرده باشید در اکثر سوالات امتحانی از مبحث متوازی الاضلاع سوالات زیادی مطرح میشود، مانند نحوه محاسبه قطر متوازی الاضلاع. اگر شما هم در پیدا کردن اندازه قطر متوازی الاضلاع ضعیف هستید و معمولاً این سوالات را جواب نمیدهید این مطلب برای شماست. در این مطلب ضمن آشنایی اولیه با شکل هندسی متوازی الاضلاع و قطرهای آن، با فرمول محاسبه قطر متوازی الاضلاع و نحوه بدست آوردن آن آشنا خواهیم شد. پس تا انتهای این مطلب همراه ما باشید تا این بار خیالتان از سوالهای مبحث متوازی الاضلاع راحت باشد.
متوازیالاضلاع چیست؟
متوازیالاضلاع یکی از اشکال هندسی است که به عنوان چهار ضلعی تعریف میشود. متوازی الاضلاع دارای جفت ضلع و زاویه مساوی و برابر و یکی از جفت اضلاع روبروی هم با هم موازی هستند. بنابراین میتوان گفت که ضلعهای روبرو هماندازه و موازی با یکدیگر هستند. همچنین زوایای متقابل در متوازی الاضلاع نیز با هم برابر هستند. مجموع زوایای داخلی که روبروی هم قرار گرفتهاند 180 درجه است. قطرهای متوازی الاضلاع نیز همدیگر را نصف میکنند اما عمود به هم نیستند. برای درک بهتر خصوصیات و ویژگیهای این شکل هندسی به تصویر زیر نگاه کنید.
شکل بالا متوازی الاضلاع ABCD را با اضلاع AB، BC، CD و AD و قطرهای AC و BD نشان میدهد. همانطور که در تصویر مشاهده میکنید، طول اضلاع مقابل مانند AB و CD یا BC و AD با یکدیگر برابر است. به علاوه جفت زوایای مقابل یعنی ∠A و ∠C و در سوی دیگر زوایای ∠B و ∠D نیز با هم برابر هستند.
حال که با متوازی الاضلاع و ویژگیهای آن کمابیش آشنا شدیم، برای محاسبه قطر متوازی الاضلاع و بدست آوردن فرمولهای آن نیاز داریم قطرهای این شکل هندسی را نیز بهتر درک کنیم، پی به مطالعه ادامه دهید.
قطر متوازی الاضلاع
قطرهای متوازی الاضلاع را میتوان با اتصال دو راس غیر مجاور متوازی الاضلاع رسم کرد. لازم به ذکر است که 2 قطر متوازی الاضلاع همدیگر را نصف کرده و متوازی الاضلاع را به مثلثهای هم نهشت تقسیم میکنند.
خصوصیات قطر متوازی الاضلاع
نکات زیر خواص و ویژگیهای قطرهای متوازی الاضلاع را نشان میدهد. از آنجایی که ویژگیها ما را در رسیدن به فرمول محاسبه قطر متوازی الاضلاع یاری میکنند، بهتر است با آنها بیشتر آشنا شویم.
- قطرهای متوازی الاضلاع همیشه همدیگر را نصف میکنند.
- در یک مربع ( مربع نوع خاصی از متوازی الاضلاع است)، قطرها با هم برابر هستند و در زوایای قائم یکدیگر را نصف میکنند. بنابراین قطرهای متوازی الاضلاع لزوماً عمود منصف نیستند و تنها همدیگر را نصف میکنند.
- قطرهای متوازی الاضلاع نیمساز نیستند و زوایای داخلی را نصف نمیکنند. تنها در صورتی این اتفاق میافتد که متوازی الاضلاع ما لوزی یا مربع باشد.
- برای محاسبه محیط و مساحت متوازیالاضلاع داشتن اندازه قطر متوازی الاضلاع الزامیست.
فرمول محاسبه قطر متوازیالاضلاع
برای یک متوازیالاضلاع، قطر همان خطی است که دو رأس نامجاور از شکل را به یکدیگر وصل میکند. حال که با ویژگیها و خصوصیات قطرهای این چهار ضلعی آشنا شدیم بد نیست به سراغ فرمول محاسبه قطر متوازیالاضلاع برویم. فرمولهای مختلفی برای محاسبه قطر متوازیالاضلاع وجود دارد که در ادامه آنها را بررسی خواهیم کرد. به شکل زیر توجه کنید که متوازی الاضلاع را به همراه قطرهای آن نشان میدهد. در اینجا (p) و (q) قطرهای متوازی الاضلاع و (x) و (y) اندازه ضلعهای متقابل متوازی الاضلاع هستند.
فرمول محاسبه قطر یک متوازیالاضلاع: با استفاده از اندازه ضلعها و زاویه بین آنها
یکی از راههای محاسبه قطر متوازی الاضلاع، استفاده از اندازه ضلعها و زاویه بین آنها است. بنابراین فرمول محاسبه قطر یک متوازیالاضلاع با استفاده از اندازه ضلعها و زاویه بین آنها به شکل زیر است.
- p و q به ترتیب طول قطرهای متوازی الاضلاع در نظر گرفته میشوند.
- x و y اضلاع متوازی الاضلاع هستند.
- زاویه A و زاویه B دو زاویه داخلی متوازی الاضلاع هستند.
نکته: در این فرمولها باید به علامت مثبت و منفی پشت کسینوس دقت کنید. در واقع برای محاسبه قطر مقابل به زاویه مورد نظر، پشت کسینوس یک علامت ضریب منفی قرار میدهیم.
فرمول محاسبه قطر یک متوازی الاضلاع: با استفاده از اندازه دو ضلع و قطر دیگر
فرمول دیگری برای محاسبه قطر یک متوازی الاضلاع وجود دارد که رابطه بین قطرها و اضلاع آن را بیان میکند. بنابراین اگر در صورت مسئله اندازه دو ضلع و یکی از قطرها را بدهند، برای محاسبه طول قطر دیگر متوازی الاضلاع باید از این فرمول استفاده کرد.
- p و q به ترتیب قطرهای متوازی الاضلاع هستند.
- x و y اضلاع متوازی الاضلاع هستند.
تمرین و مثال
برای اینکه درس امروز را به خوبی به خاطر بسپارید بهتر است همراه با ما تمرینات زیر را انجام دهید.
تمرین 1
اگر زوایای داخلی یک متوازی الاضلاع 120 درجه و 60 درجه باشد و طول اضلاع آن نیز 4 متر باشد، طول قطرهای آن را بیابید.
حل تمرین 1
برای محاسبه قطر این متوازیالاضلاع، ابتدا ابعاد را در فرمول محاسبه قطر متوازیالاضلاع با استفاده از اندازه ضلع و زاویه داخلی قرار داده و سپس محاسبه کنیم. بنابراین:
زاویه A : 120 درجه
زاویه B : 60 درجه
طول ضلع y:4 متر
طول ضلع x : 4 متر
بنابراین یکی از قطرهای متوازی الاضلاع 4 متر است. اما برای محاسبه قطر دیگر ابعاد و اندازههایمان را در فرمول زیر قرار میدهیم:
جواب صحیح. طول قطرهای این متوازی الاضلاع 6.92 و 4 متر است.
تمرین 2
طول یکی از قطرهای متوازی الاضلاع که اضلاع 7 متر و 9 متر دارد و قطر دیگر آن 11 متر است را محاسبه کنید.
حل تمرین
با توجه به دادههای مسئله از فرمول محاسبه متوازی الاضلاع با استفاده از اندازه اضلاع و قطر دیگر استفاده میکنیم. بنابراین دادهها و اندازههایمان را در فرمول زیر قرار میدهیم:
جواب صحیح: طول قطر دیگر این متوازی الاضلاع 78/11 متر است.
در آخر
در این مطلب دو فرمول اصلی برای محاسبه قطر متوازی الاضلاع را به شما عزیزان معرفی کردیم و با مثالهای ساده این مبحث را تمرین کردیم. با این توضیحات و مثالهای ارائه شده، شما به راحتی میتوانید مفهوم متوازیالاضلاع را درک کرده و با استفاده از فرمول مناسب، قطر آن را محاسبه نمایید. حال برای ما جواب صحیح این نمونه سوال را بنویسید و این مبحث را بیشتر تمرین کنید. برای یک متوازیالاضلاع با طول 8، عرض 5 و قطر 15،اندازه قطر دیگر را محاسبه کنید. منتظر جواب شما هستیم.