مقدمه
مساحت در هندسه یکی از ابزارهای مفید و کاربردی است. با درک و آگاهی از مفهوم مساحت اشکال هندسی و توانایی محاسبه مساحت شکلهای مختلف، میتوان از این مفهوم در زندگی روزمره نیز نهایت بهره را برد. به معنای دیگر مساحت یک شکل هندسی، یعنی مقدار فضایی که توسط آن شکل اشغال شده است. مساحت اشکال مختلف هندسی با استفاده از فرمولهای خاصی محاسبه میشود که به تعداد و نوع اضلاع و زوایای شکل مورد نظر بستگی دارد. بنابراین تا انتهای این مطلب همراه ما باشید تا نحوه محاسبه مساحت اشکال هندسی را بیاموزیم و بتوانیم به خوبی مفهوم مساحت را درک کنیم.
مساحت چیست؟
مساحت مقدار فضای اشغال شده توسط یک شکل دو بعدی یا سه بعدی است. به عبارت دیگر منظور از مساحت کمیتی است که اندازه سطح داخلی یک شکل بسته دو بعدی و یا اندازه سطح بیرونی یک شکل سه بعدی را اندازه میگیرد. واحد استاندارد مساحت واحدهای مربع است که عموماً به صورت سانتی متر مربع و متر مربع و غیره نمایش داده میشود. حال اجازه دهید با یک مثال ساده با مفهوم مساحت بیشتر آشنا شویم.
تصویر زیر به خوبی مفهوم مساحت را نشان میدهد. همانطور که مشاهده میکنید در تصویر زیر ما یک شکل مربعی داریم که به تعداد واحد مساوی تقسیم بندی شده و اندازه هر واحد برابر با 1 است. اگر بخواهیم مساحت قسمت نارنجی رنگ را پیدا کنیم، تنها کافیست اندازه هر واحد را در نظر گرفته و آنها را با هم جمع کنیم. پس از آنجایی که قسمت نارنجی رنگ به 25 واحد تقسیم شده و هر واحد نیز ارزشی برابر با 1 دارد؛ مساحت قسمت نارنجی رنگ 25 = 25 × 1 میشود.
نحوه محاسبه مساحت اشکال هندسی
حال که متوجه شدیم منظور از مساحت اندازه سطح درونی یک شکل هندسی دو بعدی است، بهتر است به سراغ نحوه محاسبه مساحت اشکال مختلف هندسی برویم. اولین نکتهای که باید به خاطر بسپارید این است که نحوه محاسبه مساحت اشکال مختلف هندسی با همدیگر متفاوت است و بنابراین برای پیدا کردن مساحت هر شکل باید از یک فرمول مخصوص استفاده کرد. به علاوه باید به این نکته نیز توجه کرد که اگر شکل مورد نظر ما یک شکل نامنظم باشد، ابتدا باید آن را به اشکال هندسی پایه مثل مربع، دایره، مثلث و غیره بخش بندی کرد و پس از محاسبه مساحت اشکال هندسی پایه آنها را با هم جمع بست تا مساحت شکل نامنظم اولیه به دست بیاید. برای مثال به تصویر زیر دقت کنید.
این شکل یک شکل نامنظم است و برای به دست آوردن مساحت آن باید به اشکال هندسی پایه و اصلی شکسته شود. بنابراین بهتر است ابتدا این شکل را به یک مربع و یک مثلث تقسیم و بعد از پیدا کردن مساحت مربع و مثلث، آنها را با هم جمع ببندیم. در ادامه همین مطلب با یک تمرین ساده نحوه محاسبه مساحت یک شکل نامنظم را بیشتر توضیح دادیم.
فرمول محاسبه مساحت در اشکال هندسی مختلف
برای محاسبه مساحت اشکال هندسی مختلف باید از فرمول مخصوص برای هر شکل استفاده کرد. بنابراین با ما همراه باشید تا لیست کاملی از فرمول مساحت اشکال هندسی مختلف را در اختیار شما قرار دهیم.
مساحت مثلث
مثلث از 3 ضلع و سه راس تشکیل شده و برای محاسبه مساحت این شکل هندسی تنها کافیست هر قاعده و ارتفاع آن را در هم ضرب و جواب به دست آمده را بر 2 تقسیم کنیم. بنابراین فرمول مساحت مثلث به صورت زیر است.
فرمول مساحت مثلث
۲ ÷ (ارتفاع × قاعده) = مساحت مثلث
فرمول جبری مساحت مثلث
A : مساحت مثلث
h: ارتفاع مثلث
b: قاعده مثلث
مساحت مثلث متساوی الاضلاع
در مثلث متساوی الاضلاع تمامی اضلاع و زوایا با هم برابر هستند. بنابراین فرمول محاسبه مساحت مثلث متساوی الاضلاع به صورت زیر است.
فرمول جبری مساحت مثلث متساوی الاضلاع
A : مساحت مثلث متساوی الاضلاع
a: اندازه ضلع مثلث متساوی الاضلاع
گام به گام، نمونهسوالات، نکات روانشناسی، برنامهریزی تحصیلی، آزمایشهای علمی و …
چنانچه یکی از ارتفاعهای مثلث متساوی الاضلاع مشخص بود میتوانید از فرمول زیر نیز مساحت آن را محاسبه کنید.
A: مساحت مثلث متساوی الاضلاع
h: اندازه ارتفاع مثلث متساوی الاضلاع
مساحت مربع
مربع از چهار ضلع با اندازههای برابر و 4 زاویه قائمه یا 90 درجه تشکیل شده است. برای محاسبه مساحت یک مربع باید اندازه یکی از اضلاع را در فرمول زیر قرار داد.
فرمول مساحت مربع
اندازه ضلع a × اندازه ضلع a = مساحت مربع
فرمول جبری مساحت مربع
A=a ×a
البته فرمول بالا را میتوان به صورت توان دار هم نوشت:
A: مساحت مربع
a :طول ضلع مربع
نکته : چنانچه طول ضلع مربع مشخص نبود و تنها مقدار قطر مربع را داشتیم باید از فرمول زیر مساحت مربع را بدست آوریم:
A : مساحت مربع
d: اندازه قطر مربع
مساحت لوزی
لوزی مانند مربع اضلاع برابری دارد و تنها تفاوتش با مربع در زاویههای آن است که از دو زاویه منفرجه و دو زاویه حاده تشکیل شده است. برای محاسبه مساحت لوزی نیاز به طول قطر کوچک و بزرگ لوزی و قرار دادن طول آنها در فرمول زیر داریم.
فرمول مساحت لوزی
۲ ÷ (قطر کوچک × قطر بزرگ) = مساحت لوزی
فرمول جبری مساحت لوزی
A : مساحت لوزی
p: قطر لوزی
q: قطر دیگر لوزی
مساحت مستطیل
مستطیل همان مربعی است که اضلاع روبروی آن با هم برابر هستند. مستطیل از چهار زاویه ۹۰ درجه یا قائمه تشکیل شده و برای به دست آوردن مساحت آن نیاز به طول و عرض داریم.
فرمول مساحت مستطیل
عرض × طول = مساحت مستطیل
فرمول جبری مساحت مستطیل
A = l ×w
A: مساحت مستطیل
l : طول مستطیل
w: عرض مستطیل
نکته : اگر طول یکی از اضلاع مستطیل مشخص نبود و به جای آن اندازه قطر مستطیل را داشتیم، باید از فرمولهای زیر برای محاسبه مساحت آن مستطیل استفاده کنیم:
A: مساحت مستطیل
l : طول مستطیل
w : عرض مستطیل
d: قطر مستطیل
مساحت ذوزنقه
ذوزنقه چهار ضلعی است که دو ضلع موازی و دو ضلع ناموازی دارد. ضلعهای موازی ذوزنقه، قاعده و ضلعهای غیر موازی آن، ساق و فاصله عمودی بین دو قاعده را ارتفاع ذوزنقه مینامند. برای محاسبه مساحت ذوزنقه باید از فرمول زیر استفاده کرد.
فرمول مساحت ذوزنقه
ارتفاع × (۲ ÷ مجموع قاعده بزرگ و کوچک) = مساحت ذوزنقه
فرمول جبری مساحت ذوزنقه
A: مساحت ذوزنقه
a: اندازه یک قاعده
b: اندازه قاعده دیگر
h: اندازه ارتفاع
مساحت متوازی الاضلاع
همانطور که از نامش مشخص است به چهار ضلعی که اضلاع آن دو به دو با هم موازی و مساوی باشند، متوازیالاضلاع میگویند. برای محاسبه مساحت متوازی الاضلاع نیاز به فرمول زیر داریم.
فرمول مساحت متوازی الاضلاع
ارتفاع × قاعده = مساحت متوازی الاضلاع
فرمول جبری مساحت متوازی الاضلاع
S=bh
S : مساحت متوازیالاضلاع
b: قاعده متوازیالاضلاع
h: ارتفاع متوازیالاضلاع
مساحت دایره
برای محاسبه مساحت دایره به عدد پی و اندازه قطر یا شعاع دایره نیاز است. فرمول مساحت دایره به شکل زیر نوشته میشود.
فرمول مساحت دایره
شعاع × شعاع × عدد پی = مساحت دایره
عدد پی = 14/3
فرمول جبری مساحت دایره
S= π ×r ×r
یا
A: مساحت دایره
مساحت بیضی
اگر مرکز بیضی را یک نقطه در نظر بگیریم و دو خط به صورت عمودی و افقی بر روی آن ترسیم کنیم 2 قطر بزرگ و کوچک بیضی بدست میآید. برای محاسبه مساحت بیضی به اندازه شعاع بزرگ و کوچک بیضی و البته فرمول زیر نیاز داریم.
فرمول مساحت بیضی
شعاع کوچک × شعاع بزرگ × ۱۴/3 = مساحت بیضی
فرمول جبری مساحت بیضی
S= πab
S: مساحت بیضی
a: شعاع بزرگ یا نصف قطر اصلی
b: شعاع کوچک یا نصف قطر فرعی
مساحت چندضلعی منتظم
آن چندضلعی منتظم یکی از اشکال هندسی است که اندازه تمام اضلاع و زوایای آن با همدیگر برابر است. برای محاسبه مساحت چندضلعی منتظم ابتدا باید محیط آن چند ضلعی منتظم را بدست آورده و سپس مقدار آن را در فرمول زیر قرار داد.
فرمول جبری مساحت چندضلعی منتظم
A : مساحت چند ضلعی منتظم
a : ارتفاع چند ضلعی منتظم
P: محیط چند ضلعی منتظم
مساحت چند ضلعی نامنظم
به اشکال هندسی که اضلاع آن باهم برابر نیست، چندضلعی نامنظم میگویند. همانطور که پیشتر در همین مطلب اشاره کردیم، برای محاسبه مساحت یک چند ضلعی نامنظم باید ابتدا آن شکل را به اشکال هندسی اصلی و پایه مانند مربع، دایره، مثلث و غیره تقسیم بندی کرده و سپس مساحت کلیه اشکال اصلی را با هم جمع ببندیم. برای مثال به شکل زیر دقت کنید:
برای محاسبه مساحت شکل بالا باید ابتدا این شکل را به چند چند ضلعی منتظم تبدیل کنید. همانطور که در شکل مشخص شده این چند ضلعی نامنظم را به دو مستطیل، یک مثلث و یک دایره تقسیم بندی کرده و آنها را به شکل زیر نامگذاری میکنیم:
حال کافیست مساحت 2 مستطیل P و S، مثلث R و نیم دایره Q را بدست آورده و آنها را با هم جمع کنیم.
- مساحت مستطیل P = طول × عرض = 6 × 8 = 48 متر مربع
- مساحت نیم دایره = مساحت دایره کامل 2 = (3.14 × 52)/2 = 39.25 متر مربع
- مساحت مثلث = = (h ×b)/2 2/1 × 8 × 6 = 24 متر مربع
- مساحت مستطیل S = طول × عرض = 6 × 8 = 48 متر مربع
- مساحت شکل اصلی = مساحت مستطیل P + مساحت نیم دایره Q + مساحت مثلث R + مساحت مستطیل S = 48 + 39.25 + 24 + 48 = 159.25 متر مربع
جدول فرمول مساحت اشکال هندسی اصلی
فرمول محاسبه مساحت برای تمامی اشکال دو بعدی اصلی را در تصویر زیر مشاهده میفرمایید.
در آخر
با یادگیری و درک مفهوم مساحت اشکال هندسی و نحوه محاسبه آن یکی از مهمترین ابزارها در درس هندسه و ریاضیات است. در این مطلب مساحت و فرمول محاسبه مساحت اشکال هندسی مختلف را به زبان ساده آموختیم. پیشنهاد میکنیم این راهنمای جامع مساحت اشکال هندسی را ذخیره و آن را به دوستان خود معرفی کنید.
