به خطی که بر یک پارهخط عمود شود و آن را نصف کند، عمودمنصف گفته میشود. این خط قائم است و با پارهخط زاویهای ۹۰ درجه ایجاد میکند. در این مطلب میخواهیم به بررسی عمودمنصف بپردازیم. با ادامه این مطلب ما را همراهی کنید.
عمودمنصف چیست؟
عمودمنصف خطی است که بر یک پارهخط عمود میشود و آن را نصف میکند.
در تصویر بالا پارهخطی که خط AB را قطع کرده و بر آن عمود شته است، عمودمنصف است.
در شکل بالا نیز خط CE عمودمنصف است.
همان طور که در تصویر بالا مشاهده میکنید. دو خط کوچک روی پارهخط AB وجود دارد. این دو خط نشاندهنده یک اندازه بودن است. یک مربع کوچک هم در قسمت تقاطع دو خط مشاهده میکنید. این مربع نشانه قائمه بودن زاویه است.
چگونه عمودمنصف یک پارهخط را رسم کنیم؟
برای کشیدن عمودمنصف به خط کش و پرگار نیاز دارید. ابتدا با خطکش یک پارهخط بکشید.
پارهخط را اندازه بگیرید. پرگاری بردارید و آن را بیش از نصف اندازه پارهخط باز کنید. فرقی ندارد که چقدر میخواهید دهانه پرگار را باز کنید. تنها نکته مهم این است که اندازه دهانه پرگار بیشتر از نصف اندازه پارهخط کشیده شده باشد.
پرگار را یک بار روی سر A و بار دیگر روی سر B بگذارید و کمانی بکشید. این دو کمان یکدیگر را قطع خواهند کرد. این کار را یک بار برای بخش بالایی و یک بار برای بخش پایینی انجام دهید.
با توجه به شکل بالا شما باید ۴ کمان رسم کنید. نام یکی را C و نام دیگری را D بگذارید. حال با استفاده از خط کش این دو نقطه را به هم وصل کنید. به این خط عمودمنصف پارهخط AB گفته میشود.
عمودمنصف مثلث چیست؟
یک مثلث ۳ ضلع دارد. پس میتوان ۳ عمودمنصف برای آن کشید. این ۳ عمودمنصف در یک نقطه یکدیگر را قطع میکنند. به این بخش «مرکز دایره محیطی» گفته میشود. زیرا اگر یک دایره دور مثلث بکشید، این نقطه در وسط آن قرار دارد. حال اگر ۳ خط یا بیشتر در یک بخش با هم تلاقی داشته باشند، به آن نقطه «نقطه همرسی» گفته میشود. با توجه به این تعریف، مرکز دایره محیطی مثلث همان نقطه همرسی عمودمنصفهای آن است.
نکته:
- مرکز دایره محیطی مثلث حاده درون آن قرار میگیرد.
- مرکز دایره محیطی مثلث قائمالزاویه روی وتر قرار میگیرد.
- مرکز دایره محیطی مثلث منفجره خارج از آن قرار میگیرد.
چگونه عمودمنصف مثلث را رسم کنیم؟
رسم عمودمنصف مثلث همانند رسم عمودمنصف یک پارهخط عادی است. کافی است هر ضلع مثلث را یک پارهخط در نظر بگیرید. از پرگار برای کشیدن کمانها استفاده کنید.
این کار را برای هر سه ضلع انجام دهید. همان طور که در تصویر پایین میتوانید مشاهده کنید، سه عمودمنصف در یک نقطه یکدیگر را قطع میکنند.
چگونه همرسی عمودمنصفهای مثلث را اثبات کنیم؟
برای این کار به شکل زیر نگاه کنید.
وقتی عمودمنصف ۲ ضلع AB و AC در نقطه O یکدیگر را قطع میکنند. میتوانیم این فرض را در نظر بگیریم که:
- روی عمودمنصف AB است، پس OA = OB.
- روی عمودمنصف AC است، پس OA = OC.
از آنجایی که دو مورد OA = OB و OA = OC مساوی هستند، میتوان گفت که OB = OC هم برابر هستند. با توجه به این امر میتوانیم بگوییم که عمودمنصف BC از نقطه O میگذرد. پس ۳ عمودمنصف این مثلث در یک نقطه به هم میرسند.
عمودمنصف مستطیل چیست؟
عمودمنصف مستطیل نیز همان کار همیشگی یک عمودمنصف را انجام میدهد؛ یعنی بر ضلع مستطیل عمود میشود و آن را به ۲ قسمت مساوی تقسیم میکند.
از آنجایی که مستطیل ۴ ضلعی است، ۴ عمودمنصف دارد. نکات جالبی در مورد عمودمنصف مستطیل وجود دارد. ۴ عمودمنصف مستطیل در یک نقطه به هم میرسند و محور تقارن آن هستند. علاوه بر این، عمودمنصفهای مستطیل و قطرهای آن در یک نقطه به هم میرسند.
عمودمنصف این شکل نیز همانند اشکال دیگر کشیده میشود. در واقع روش رسم عمودمنصف تمامی اشکال به یک صورت است.
منظور از قضیه عمودمنصف چیست؟
با توجه به قضیه عمودمنصف هر نقطهای که روی آن بکشیم، فاصله یکسانی با ۲ سر پارهخط خواهد داشت. به شکل زیر توجه کنید.
با توجه به این قضیه:
MT = NT و MS = NS و MR = NR و MQ = NQ
حال بیایید این قضیه را اثبات کنیم. برای اثبات قضیه عمودمنصف، به شکل زیر نگاه کنید.
نقطه C را روی عمودمنصف کشیدهایم. عمودمنصف پارهخط AB، آن را در نقطه D قطع میکند. با توجه به این شکل، میتوانیم دو مثلث داشته باشیم. پس:
AD = BD
CD = CD (مشترک)
ADC=BDC=90
با توجه به همنهشتی دو ضلع و زاویه بین، دو مثلث ACD و BCD با هم برابر هستند. در ادامه مثالهایی میآوریم تا بهتر متوجه این قضیه شوید.
مثال اول
پارهخط AD عمودمنصف ضلع BC در یک مثلث است. اگر AB=30 و BD=10 باشد، طول ضلع AC چقدر است؟
توضیح تصویر: اعداد شکل با توجه به مسئله عوض شود.
طبق قضیه عمودمنصف هر نقطهای که روی AD بکشیم فاصله برابری با نقاط B و C خواهد داشت. پس:
AB = AC
AC=30
مثال دوم
عمودمنصف پارهخط زیر را بکشید.
پاسخ:
مثال سوم
اندازه X را پیدا کنید:
X+6 باید برابر با ضلع روبهرویی باشد. پس:
X+6=22
X= 16
مثال چهارم
هر ۳ عمودمنصف مثلث زیر را بکشید:
پاسخ:
مثال پنجم
مقدار X را پیدا کنید.
2X+3=15
12=2X
X=6
مثال ششم
مقدار X را در شکل زیر پیدا کنید.
در شکل بالا خطوط موجود عمودمنصف مثلث KLM هستند. مرکز دایره محیطی نیز نقطه O است. پس بر اساس قضیه عمودمنصف OM=OK. یعنی این دو برابر هستند؛ بنابراین:
6X=1=19
6X=18
X=3
کلام آخر
در این مطلب به بررسی عمودمنصف پرداختیم و آن را در اشکال مختلف توضیح دادیم. علاوه بر این، مثالهایی را برای درک بهتر موضوع حل کردیم. پیشنهاد میکنیم مثالها را خودتان ابتدا حل کنید و سپس پاسخ را مشاهده کنید تا بهتر یاد بگیرید.
برای یادگیری کامل این مبحث میتوانید ویدیوهای آموزشی فیلیمومدرسه را تماشا کنید.