جمع کسرها — آموزش کامل به زبان ساده + حل تمرین

جمع کردن کسرها گاهی می‌تواند مشکل باشد، اما با این راهنمای جامع و کاملی که در ادامه می‌خوانید ساده‌تر می‌شود. بنابراین تا انتهای این مطلب همراه ما باشید تا با هم سری بزنیم به دنیای کسرها و نحوه جمع کردن انواع کسرها را با هم بیاموزیم. همچنین در انتهای مطلب با حل تمرین‌های سخت و آسان یاد می‌گیریم چطور از این مبحث درسی در امتحانات استفاده کنیم.

کسر چیست؟

قبل از اینکه آموزش جمع کسر به زبان ساده را شروع کنیم، بد نیست مروری داشته باشیم بر مفهوم کسر. کسر به معنای جزئی از یک کل است، حال این کل می‌تواند یک منطقه، یک غذا یا حتی عدد باشد. بنابراین کسر در ریاضیات به به معنای بخشی از یک عدد است. اجازه دهید با استفاده از یک مثال مفهوم کسر را بهتر درک کنیم. تصویر زیر یک پیتزای کامل را نشان می‌دهد که به 8 قسمت مساوی تقسیم شده است. حال اگر بخواهیم به یک قسمت انتخاب شده از پیتزا اشاره کنیم، می‌توانیم آن را به صورت 1/8 نشان دهیم. بدین ترتیب ما از 8 قسمت مساوی یک مجموعه کامل، به 1 قسمت از آن اشاره می‌کنیم و این کسر را «یک هشتم» می‌خوانیم.

بنابراین اگر 2 قسمت از پیتزا را انتخاب کنیم به صورت 2/8 نشان داده می‌شود. به همین ترتیب، اگر به 6 قسمت از این پیتزا اشاره کنیم، آن را به صورت کسری 6/8 می‌نویسیم. 

همه کسرها از یک صورت و یک مخرج تشکیل شده‌اند و با یک خط افقی از هم جدا می‌شوند. مخرج در قسمت پایین کسر و زیر خط افقی آن قرار گرفته و تعداد قسمت‌هایی را نشان می‌دهد که عدد ما به آن تقسیم شده است. در مثال بالا ما پیتزا را به 8 قسمت تقسیم کردیم پس مخرج کسر ما عدد 8 می‌شود.

صورت کسر نیز در قسمت بالایی خط افقی قرار گرفته و نشان می‌دهد که چند بخش از کسر نشان داده یا انتخاب شده است. در مثال بالا صورت کسرهای ما به ترتیب 1، 2 و 6 بود. حال که مروری کردیم بر تعریف کسرها و خصوصیاتشان، وقت آن رسیده تا با نحوه جمع کسرها آشنا شویم.

جمع کسرها

جمع کسرها با جمع معمولی اعداد کمی متفاوت است زیرا یک کسر از یک صورت و یک مخرج تشکیل شده است. اگر مخرج دو یا چند کسری که می‌خواهیم آنها را با هم جمع ببندیم مساوی باشند، جمع کسرها را می‌توان به راحتی انجام داد. در غیر این صورت اما کمی پیچیده‌تر است و نیاز به توضیحات بیشتری دارد. به طور کلی کسرها در ریاضیات انواع مختلفی دارند. هنگام جمع کردن کسرها ابتدا باید بررسی کنیم که آیا مخرج کسرها یکسان هستند یا خیر. بنابراین در حین یادگیری در مورد جمع کردن کسرها، ممکن است با سناریوهای زیر روبرو شویم.

1. جمع کسر با مخرج یکسان، مانند 1/4 + 3/4
2. جمع کسر با مخرج‌های متفاوت، مانند3/5  + 1/2
3. جمع کسر با اعداد صحیح، مانند 1/2 + 2
4. جمع کسر با متغیرها، مانند  

حال اجازه دهید موارد فوق را با جزئیات بیشتر بررسی کنیم.

جمع کسرها با مخرج مساوی

همانطور که پیشتر نیز اشاره کردیم، جمع بستن کسرهای با مخرج مساوی ساده‌ترین راه جمع کسرهاست. بنابراین اگر در صورت مسئله از ما خواسته شده که 2 یا چند کسر را با هم جمع کنیم، ابتدا باید چک کنیم که مخرج این کسرها مساوی است یا خیر. جمع کسرهای با مخرج یکسان با نوشتن مجموع اعداد صورت‌ها در صورت کسر و مخرج کسرها در مخرج کسر بدست آمده انجام می‌شود. بیایید نحوه جمع کردن کسر با مخرج مساوی را با کمک یک مثال بهتر درک کنیم.

مثال

کسرهای  را اضافه کنید

راه حل

می‌بینیم که مخرج کسرهای داده شده با هم برابر است. بنابراین جمع این کسرهای مشابه را می‌توان با جمع کردن صورت کسرهای داده شده و حفظ مخرج مشترک انجام داد. در این حالت مخرج را 4 نگه می‌داریم و تنها اعداد صورت را با هم جمع می‌کنیم. بنابراین

بنابراین مجموع  این کسرها 3/4 است.

در تصویر زیر جمع دو کسر با مخرج مساوی را با زبان پیتزایی مشاهده می‌کنید!

جمع کسرها با مخرج نامساوی

حال که یاد گرفتیم که چگونه کسری را با مخرج یکسان جمع کنیم، بیایید نحوه جمع کسر با مخرج‌های متفاوت یا نامساوی را یاد بگیریم. وقتی مخرج کسرهای ما متفاوت باشند، کسرها کسرهای نامساوی نامیده می‌شوند. در چنین کسرهایی اولین قدم تبدیل آنها به کسرهای یکسان است تا بتوان از آنها مخرج مشترک گرفت. منظور از مخرج مشترک گرفتن، ضرب صورت و مخرج در یک عدد ثابت به غیر از صفر است به نحوی که مخرج کسرها با هم برابر شوند. این کار با یافتن کوچک‌ترین مضرب مشترک (ک.م.م) مخرج‌ها انجام می‌شود. اجازه دهید با کمک مثال زیر این موضوع را بهتر درک کنیم.

مثال

کسرهای 3/5 و 1/3 را با هم جمع کنید.

راه حل

برای جمع کردن این کسرهای نامساوی باید مراحل زیر را طی ‌کنیم.

مرحله 1

از آنجایی که مخرج کسرهای داده شده با هم متفاوت هستند، باید راهی برای مخرج مشترک گرفتن پیدا کنیم. بنابراین ک.م.م اعداد 3 و 5 را پیدا می‌کنیم تا آنها را با هم برابر کنیم. برای بدست آوردن کوچکترین مضرب مشترک ابتدا مضرب‌های هر دو عدد 3 و 5 را نوشته و از بین مضارب مشترکی که با هم دارند کوچکترین را انتخاب می‌کنیم. بدین ترتیب کوچکترین مخرج مشترک اعداد 3 و 5 ، 15 می‌شود. 

مرحله 2

اکنون باید مخرج و صورت هر دو کسر را در عددی ضرب کنیم که حاصلضرب مخرج آن کسر در آن عدد برابر با 15 شود. مخرج کسرهای ما 3 و 5 بود. بنابراین صورت و مخرج کسر 13 باید در 5 ضرب شود و کسر 35 نیز در عدد 3 ضرب شود. پس:

مرحله 3

اکنون، مخرج کسرهای ما یکسان هستند، بنابراین می‌توانیم به سادگی صورت‌ها را با هم جمع کرده و حاصل آن را روی مخرج مشترک بنویسیم. بنابراین:

حالا شما بگویید حاصل جمع دو کسر تصویر زیر چقدر می‌شود؟

جمع کسر با اعداد صحیح

یک راه آسان برای جمع کردن یک عدد صحیح و یک کسر این است که عدد صحیح را به صورت یک کسر با مخرجی مساوی با کسر داده شده بنویسیم. 

مثال

حاصل جمع  5 + 1/2 را بنویسید.

راه حل

ابتدا باید عدد صحیح یعنی 5 را به صورت کسری بنویسیم که مخرجش با مخرج کسر 1/2 برابر باشد. بنابراین کافیست 5 را در یک کسر 22 ضرب کنیم. بنابراین:

حال مشابه جمع کسر با مخرج مساوی دو کسر را با هم جمع می‌کنیم. پس:

جمع کسر با متغیرها

اکنون که جمع کسرها با مخرج مساوی و نامساوی را آموزش دیدیم، می‌توانیم به سراغ جمع کسر با متغیرها برویم. برای یادگیری بهتر و عمیق‌تر اجازه دهید با کمک مثال زیر این مبحث را بررسی کنیم.

مثال

اگر y باشد، حاصل جمع دو کسر  را بدست آورید.

راه حل

برای جمع کسرها با متغیر مراحل زیر را انجام می‌دهیم.

مرحله 1

با توجه به کسرهای داده شده در صورت مسئله ، متوجه می‌شویم که این کسرها مساوی هستند زیرا مخرج یکسانی دارند و متغیر y نیز در آنها مشترک است.

مرحله 2

در این مرحله می‌توانیم متغیر را از کسرها را خارج کرده و آن را به صورت زیر بنویسیم: 

نکات و ترفندهایی در مورد جمع کسرها

نکات زیر برای جمع بستن کسرها مفید هستند و هنگام کار با جمع کسرها باید آنها را به خوبی به خاطر بسپارید.

• برای جمع کسرهای نامساوی صورت و مخرج را با هم جمع نمی‌کنیم. برای مثال

• برای جمع کردن کسرهای نامساوی، ابتدا کسرهای داده شده را با ضرب در کوچکترین مخرج مشترک به کسرهای مساوی تبدیل کنید.
• به طور کلی در جمع کسرها فقط باید اعداد صورت را جمع کنید و مخرج مشترک را حفظ کنید تا مجموع کسرها را بدست آورید.

تمرین جمع کسرها

حالا بیایید تمرین کنیم و یاد بگیریم که چگونه با استفاده از مثال‌های زیر، کسرهای متفاوت را جمع کنیم.

تمرین 1

دو کسر  را با هم جمع کنید.

حل تمرین 1 

در این تمرین ما با جمع کسرها با متغیر سرو کار داریم، بنابراین باید با استفاده از مراحل زیر این کسرها را با هم جمع کنیم.

مرحله 1) از آنجایی که کسرهای داده شده، مخرج نامساوی دارند، ابتدا کوچکترین مخرج مشترک کسرها را می‌گیریم و آنها را به کسرهای مساوی تبدیل می‌کنیم. در اینجا ک.م.م یا کوچکترین مخرج مشترک کسرها عدد 6 است پس باید مخرج 2 را در عدد 3 و مخرج 3 را در عدد 2 ضرب کنیم. ( فراموش نکنید که صورت این کسرها نیز باید در 2 و 3 ضرب شوند!). بنابراین:

مرحله 2) در مرحله بعد، باید متغیر مشترک را از کسرها خارج کرده و به صورت زیر بازنویسی کنیم:

مرحله 3) بدین ترتیب دو کسر با مخرج مشترک به دست آوردیم و حال باید این کسر را ساده‌تر کنیم. پس:

تمرین 2

کسرهای زیر را با هم جمع کنید: 2/5 و 2/3

حل تمرین 2

کسرهای داده شده از نوع کسرهای نامساوی هستند. بنابراین برای جمع این کسرها باید کوچکترین مخرج مشترک آنها را پیدا کرده و آنها را به دو کسر با مخرج مساوی تبدیل کنیم. 

کوچکترین مخرج مشترک یا ک.م.م 5 و 3، عدد 15 است. پس کسر 2/5 را در 3 و کسر 2/3

را در 5 ضرب می‌کنیم. بنابراین:

بنابراین جواب صحیح  است.

تمرین 3

حاصل جمع 3 +  1/3 را بنویسید.

حل تمرین 3

ما در صورت مسئله با جمع یک کسر با یک عدد صحیح سرو کار داریم. بنابراین در ابتدا باید عدد صحیح خود را به یک کسر مساوی با کسر داده شده یعنی 1 3 تبدیل کنیم. پس: 

حال که به دو کسر با مخرج مساوی رسیدیم، به راحتی صورت دو کسر را با هم جمع می‌کنیم. بنابراین 

در آخر

جمع بستن یکی از 4 عمل اصلی در ریاضیات است و به همین دلیل هم ما باید نحوه جمع کردن هر عدد یا هر واحدی را یاد بگیریم. بنابراین در این مطلب به صورت کامل و جامع در مورد جمع کسرها صحبت کردیم. همچنین جمع کسرهای مختلف و متنوع را آموختیم و تمرین و مثال‌های متنوعی نیز در این زمینه حل کردیم تا این مطلب را هر چه بهتر یاد بگیرید. پس حالا با توجه به مطالب آموزش داده شده در این مطلب برای ما بنویسید حاصل جمع دو کسر 15 و 23 چیست؟