مجموعه چیست؟ — ریاضی با مثال و به زبان ساده

مقدمه

مجموعه‌ درسی بسیار شیرین و در عین حال، فوق‌العاده کاربردی است. این مبحث، مفهوم ساده‌ای دارد و هر کسی به راحتی می‌تواند آن را متوجه شود؛ با این حال، اگر نتوانسته‌اید در کلاس درس خوب تمرکز کنید یا غایب بوده‌اید، جای هیچ نگرانی نیست. ما در این مقاله، قصد داریم به طور کامل و خیلی ساده مفهوم مجموعه را بررسی کنیم و با مثال‌های کاربردی به راحتی آن را قابل فهم نماییم. با ما همراه باشید!

مجموعه چیست؟

مجموعه در ریاضی، به معنای «گروهی از اشیاء، اعداد یا افراد است که در کنار یکدیگر قرار گرفته‌اند». اعضای یک مجموعه با یک نام مشترک شناخته می‌شوند و حداقل یک ویژگی مشترک دارند. برای مثال هر یک از موارد زیر می‌توانند یک مجموعه باشند:

• A= {۱، ۳، ۸، ۱۰، ۲۱}
• B ={الف، ب، ز، د}
• C= {صندلی، میز، کمد، تخت}
• D= {زرد، آبی، قرمز، سفید}

همان‌طور که مشخص است اعضای هر مجموعه داخل یک {} قرار می‌گیرند و به کمک «،» از هم جدا می‌شوند. هر یک از این عناصر که در داخل {} قرار می‌گیرند به عنوان یک عضو مجموعه شناخته می‌شوند. برای مثال اعضای مجموعه A شامل (۱، ۳، ۸، ۱۰، ۲۱) است. برای نشان دادن عضو از عبارت زیر استفاده می‌کنیم:

• 1 ∊ A

عبارت بالا به این معنا است که ۱ عضو مجموعه A است. همچنین عبارت زیر به معنای این است که ۵ عضو A نیست:

• 5 ∉ A

مجموعه چه ویژگی‌هایی دارد؟

هر مجموعه ویژگی‌هایی دارد که باعث می‌شود از مجموعه‌های دیگر متمایز شود. این ویژگی‌ها شامل موارد زیر است:

1. عضوهای منحصربه‌فرد: هر عضو در یک مجموعه تنها یک بار ظاهر می‌شود.
2. بدون ترتیب: عضوهای یک مجموعه بدون ترتیب خاصی قرار می‌گیرند؛ یعنی مهم نیست که کدام عضو اول و کدام یک آخر قرار گرفته است.

عضوپذیری نامحدود: هیچ محدودیتی برای تعداد عضوهای یک مجموعه وجود ندارد. یک مجموعه ممکن است صفر عضو یا بی‌نهایت عضو داشته باشد.

نمادها و اصطلاحات در مجموعه‌ها

وقتی وارد موضوع مجموعه‌ها می‌شویم، با اصطلاحات و نمادهایی روبرو خواهیم شد که باید معنای آن‌ها را بدانیم. این اصطلاحات شامل موارد زیر است.

۱- مجموعه تهی

مجموعه تهی یا مجموعه خالی، مجموعه‌ای است که هیچ عضوی در آن وجود ندارد. مجموعه تهی را با نماد  ∅ نمایش می‌دهند. به عنوان مثال مجموعه زیر یک مجموعه تهی است:

A= {}

۲- اجتماع

اگر تمام اعضای دو مجموعه را در کنار یکدیگر قرار دهیم، می‌توانیم یک مجموعه جدید بسازیم که به نام اجتماع آن دو شناخته می‌شود و با علامت ∪ مشخص می‌گردد. به عنوان مثال، عبارت A ∪ B به صورت «اجتماع مجموعه ‌A و B» خوانده می‌شود. مثال زیر نحوه اجتماع گرفتن از دو مجموعه را نشان می‌دهد:

• A= {۱، ۲، ۳}
• B= {۴، ۵، ۶}
• A ∪ B= {۱، ۲، ۳، ۴، ۵، ۶}

نکته: اگر عضوی در هر دو مجموعه تکرار شده باشد، در اجتماع آن‌ها فقط یک بار تکرار خواهد شد. مثلا:

• A= {۱، ۲}
• B= {۲، ۴}
• A ∪ B= {۱، ۲، ۴}

۳- اشتراک

اشتراک به معنای اعضای مشترک بین دو مجموعه است و با نماد ∩ نشان داده می‌شود. به عنوان مثال عبارت A ∩ B  به صورت «اشتراک مجموعه A و B» خوانده می‌شود. مثالی از اشتراک را می‌توانید در زیر مشاهده کنید:

• A= {۱، ۲، ۳}
• B= {۲، ۳، ۴، ۵، ۶}
• A ∩ B= {۲، ۳}

۴- مجموعه جهانی یا مرجع

مجموعه مرجع یا مجموعه جهانی، به مجموعه‌ای گفته می‌شود که همه چیز را شامل می‌شود و با علامت U نشان داده می‌شود. مثلا اگر در مورد اسم شهرها صحبت می‌کنیم، مجموعه U مجموعه‌ای است که شامل نام تمام شهرها می‌شود؛ یا مثلا اگر در مورد اشیاء صحبت می‌کنیم، مجموعه U، مجموعه‌ای است که شامل تمام اشیاء می‌شود.

۵- تفاضل

تفاضل مجموعه A نسبت به B، یعنی تمام اعضایی که در A وجود دارند اما در B وجود ندارند و با A – B نشان داده می‌شود. در طرف مقابل نیز تفاضل مجموعه B نسبت به A با نماد B – A نشان داده می‌شود. در زیر می‌توانید مثال‌هایی از تفاضل را ببینید:

• A= {۰، ۱، ۲، ۳}
• B= {۲، ۳، ۴، ۵، ۶}

• A – B= {۱، ۰}

B – A= {۴، ۵، ۶}

۶- مکمل

مکمل مجموعه A، یعنی تمام عضوهایی که در مجموعه جهانی (U) وجود دارند، اما در A نیستند. مجموعه مکمل A را با نماد ‘A نشان می‌دهند. در واقع A U A’ = U 

۷- زیرمجموعه

زیرمجموعه، به یک مجموعه می‌گویند که تمام اعضای آن درون مجموعه دیگری قرار دارند. به عبارت دیگر اگر شما مجموعه‌ای به نام B بسازید، که تمام اعضای آن در A نیز وجود داشته باشند، یعنی B زیر مجموعه A است. برای مثال، فرض کنید مجموعه A= {1, 2} و مجموعه B= {1, 2, 3, 4} باشد؛ در این صورت، مجموعه A زیرمجموعه B است، زیرا هر دو عضو A (یعنی 1 و 2) درون مجموعه B وجود دارند.

نکته‌های مهم:

• مجموعه تهی )∅(، زیرمجموعه تمام مجموعه‌ها محسوب می‌شود.
• هر مجموعه، زیرمجموعه خودش نیز محسوب می‌شود (در واقع مجموعه‌ای جدید که شامل تمام عضوهای مجموعه اول باشد).

تعداد زیرمجموعه‌های یک مجموعه با n عضو برابر با n2 است.

با توجه به نکات بالا تمام زیرمجموعه‌های یک مجموعه فرضی مانند A= {1, 2} شامل موارد زیر است:

• B= {1, 2}
• C= ∅
• D= {1}
• E= {2}

از آنجا که مجموعه‌ A، ۲ عضو دارد، تعداد زیر مجموعه‌های آن برابر با ۲۲ یعنی ۴ است. نحوه نشان دادن زیرمجموعه به صورت زیر است:

• B ⊆ A

عبارت بالا یعنی که B زیر مجموعه A است. اگر مجموعه B زیرمجموعه A نباشد، به صورت زیر نشان داده می‌شود:

• B ⊈ A

۸- زیرمجموعه محض

اگر تمام عضوهای مجموعه B عضو مجموعه A نیز باشند، اما مجموعه A حداقل یک عضو داشته باشد که در A نباشد، در این صورت B زیر مجموعه محض A است. برای مثال اگر B= {1, 2,3} و A= {1, 2, 3, 4} باشند، در این صورت ‌B زیرمجموعه محض A است؛ زیرا تمام اعضای B در ‌A وجود دارد اما حداقل یک عضو A (۴) در B نیست.

زیرمجموعه محض را به صورت زیر نشان می‌دهند:

• B ⊂ A

همچنین اگر B زیر مجموعه محض A نباشد، به صورت زیر نشان داده می‌شود:

• B ⊄ A

نکته: تمام زیرمجموعه‌های یک مجموعه، به غیر از خود آن، زیرمجموعه محض آن محسوب می‌شوند.

مجموعه‌های معروف که باید بشناسید

بعضی مجموعه‌ها وجود دارند که بسیار پرکاربرد و معروف هستند؛ در سوالات امتحانی از این دسته مجموعه‌ها بسیار سوال پرسیده می‌شود و تنها با ذکر نام آن‌ها، باید بتوانید متوجه منظور آن‌ها بشوید. در ادامه این مجموعه‌ها را معرفی می‌کنیم.

۱- مجموعه اعداد طبیعی

یکی از مثال‌های معروفی که می‌توان ذکر کرد، مجموعه اعداد طبیعی است. مجموعه اعداد طبیعی شامل اعداد  مثبت است که هیچ رقم اعشاری نداشته باشند (اعشار صفر باشد). این مجموعه با نماد N یا ℕ نمایش داده می‌شود. مجموعه اعداد طبیعی به صورت زیر نمایش داده می‌شوند:

N= {1, 2, 3, 4,…}

اعداد طبیعی معمولا برای شمارش استفاده می‌شوند. به عنوان مثال، تعداد دانش‌آموزان یک کلاس، تعداد میوه‌های یک سبد یا تعداد روزهای هفته از جمله کاربردهای اعداد طبیعی است.

۲- مجموعه اعداد حسابی

اگر عضو صفر (۰) را به مجموعه اعداد طبیعی اضافه کنیم، مجموعه اعداد حسابی ساخته می‌شود. این مجموعه با W نشان داده می‌شود و شامل عضوهای زیر است:

W= {0, 1, 2, 3, 4,…}

۳- مجموعه اعداد صحیح

اگر اعداد منفی بدون اعشار را نیز به اعداد حسابی اضافه کنیم، مجموعه اعداد صحیح ساخته می‌شود. این مجموعه با نماد Z نمایش داده می‌شود و شامل عضوهای زیر است:

Z= {…, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, …} 

۴- مجموعه اعداد گویا

هر عددی که گنگ نباشد، می‌تواند در این مجموعه قرار گیرد. برای مثال عددی مانند 2√ که گنگ است نمی‌تواند در این مجموعه قرار گیرد؛ اما همه اعداد صحیح و اعشار می‌توانند در آن قرار گیرند. این مجموعه را با نماد Q نشان می‌دهند.

۵- مجموعه اعداد حقیقی

مجموعه اعداد حقیقی شامل همه اعداد صحیح، اعشاری و گنگ است. به عبارت دیگر، اعداد حقیقی شامل اعداد مثبت، منفی، صفر و تمام اعداد اعشاری و رادیکالی است. در واقع همه اعداد گنگ و گویا می‌توانند در این مجموعه قرار گیرند. این مجموعه با نماد R نمایش داده می‌شود.

جمع بندی

مجموعه به گروهی از اعداد، اشیاء و… گفته می‌شود که به دلیل یک ویژگی مشترک در کنار یکدیگر قرار می‌گیرند. این مبحث یکی از موضوعات مهم در ریاضی است که در زمینه‌های مختلفی مورد استفاده قرار می‌گیرد. از معروف‌ترین مجموعه‌هایی که در مدرسه آموزش داده می‌شود، می‌توان به مجموع اعداد طبیعی، اعداد حسابی، اعداد صحیح و… اشاره کرد. در این مقاله با اصطلاحاتی چون اجتماع، اشتراک، مکمل و تفاضل مجموعه‌ها آشنا شدیم و نحوه محاسبه کردن آن‌ها را آموختیم. در صورتی که به راهنمایی بیشتری نیاز دارید، می‌توانید سایر مقالات ما را مطالعه کنید.

سوالات متداول

۱- چه تفاوتی بین اجتماع و اشتراک دو مجموعه وجود دارد؟

اجتماع دو مجموعه شامل تمام عضوهایی است که حداقل در یکی از دو مجموعه وجود دارند؛ در حالی که اشتراک دو مجموعه تنها شامل عضوهایی است که هر دو مجموعه وجود دارند.

۲- چگونه تفاضل دو مجموعه را حساب کنیم؟

اگر می‌خواهید تفاضل A نسبت به B را حساب کنید، باید تمام اعضایی را که در A وجود دارند اما در B وجود ندارند را بنویسید.

۳- تفاوت میان مجموعه متناهی و مجموعه نامتناهی چیست؟

مجموعه متناهی تعداد محدودی عضو دارد؛ در حالی که مجموعه نامتناهی تعداد بی‌نهایت عضو دارد. برای مثال B= {1, 2,3} یک مجموعه متناهی است، اما مجموعه N= {1, 2, 3,…} یک مجموعه نامتناهی است.

۴- تفاوت بین مجموعه نامتناهی قابل شمارش و مجموعه نامتناهی غیرقابل شمارش چیست؟

اگر بتوان اعضای یک مجموعه نامتناهی را شمرد به آن قابل شمارش می‌گویند (مانند مجموعه اعداد طبیعی)؛ اما اگر قابل شمردن نباشند به آن غیرقابل شمارش می‌گویند (مانند مجموعه اعداد حقیقی).