مساحت منشور چیست؟ ׀ فرمول ها + نمونه سؤال با جواب
مقدمه
فرض کنید شما یک جعبه شکلات در دست دارید. این جعبه دو سطح مثلثی در دو طرف خود دارد و بقیهی سطحهای آن به شکل مستطیل هستند. اکنون میخواهید این جعبه را برای یک دوست کادو کنید، اما پیش از آن باید بدانید چه مقدار کاغذ کادو لازم دارید.
برای پاسخ به این پرسش، لازم است مساحت سطح خارجی جعبه را محاسبه کنیم. در هندسه، این نوع شکل سهبعدی را منشور مینامند. منشورها تنها در کتابهای ریاضی وجود ندارند؛ بلکه در زندگی روزمره، از بستهبندیها و جعبهها گرفته تا برخی سازهها، نمونههای آن را مشاهده میکنیم.
در این مطلب، با هم بررسی میکنیم که مساحت منشور چیست؟ فرمولهای آن چگونه هستند و با حل چند نمونه سؤال، محاسبهی آن را گامبهگام یاد میگیریم.
منشور چیست؟ تعریف کامل و مثالهای واقعی
منشور یک شکل هندسی سهبعدی است که دارای دو قاعده موازی و هماندازه به شکل چندضلعی است و وجوه جانبی آن به صورت مستطیلها یا متوازیالأضلاع این دو قاعده را به هم وصل میکنند. به بیان سادهتر، منشور یک حجم هندسی است که قاعدههای آن دو شکل چندضلعی دقیقاً مشابه و در دو سطح موازی قرار دارند و دیوارههای کناری آن سطحهایی صاف و مسطح هستند که این دو قاعده را به هم متصل میکنند.
قاعدهی منشور میتواند هر چندضلعی مانند مثلث، مربع، مستطیل، ذوزنقه یا حتی چندضلعی منتظم با تعداد اضلاع بیشتر باشد. بر این اساس، منشورها انواع مختلفی دارند؛ مثلاً منشور مثلثی که قاعده آن مثلث است، منشور چهارضلعی که قاعدهاش مربع یا مستطیل است و یا منشور پنجضلعی و ششضلعی که تعداد اضلاع قاعدهشان بیشتر است.
منشورها فقط در کتابهای هندسه دیده نمیشوند، بلکه در دنیای اطراف ما هم بسیار رایج هستند. جعبههای شکلات یا بستهبندیهای مکعبی و مستطیلی نمونهای از منشورهای چهارضلعی هستند. همچنین پلها و تونلهایی وجود دارند که دارای ساختار منشوری برای افزایش استحکام هستند. کریستالها و بلورها نیز غالباً به شکل منشورها ظاهر میشوند. حتی برخی ساختمانها و سازههای معماری از نمای منشوری بهره میبرند تا علاوه بر زیبایی، استحکام لازم را داشته باشند. در طبیعت نیز برخی صخرهها و کوهها به دلیل فرآیندهای زمینشناسی به شکل منشورهای هندسی درآمدهاند.
شناخت منشورها و توانایی محاسبه مساحت و حجم آنها در بسیاری از علوم اهمیت فراوانی دارد. در مهندسی و معماری برای طراحی سازهها و بستهبندیها، در ریاضیات و فیزیک برای حل مسائل مربوط به اشکال سهبعدی و در زندگی روزمره برای محاسبه مقدار کاغذ لازم برای بستهبندی یا حجم محفظهها از منشورها استفاده میشود. به همین دلیل درک دقیق مفهوم منشور و فرمولهای مربوط به آن از اهمیت بالایی برخوردار است.
مساحت منشور چیست؟
منشور یک شکل سهبعدی است که از دو قاعدهی کاملاً هماندازه و موازی و تعدادی وجه جانبی تشکیل شده است.
مساحت منشور، مجموع مساحت تمام این وجهها است. این مقدار شامل مساحت دو قاعده و مجموع مساحت وجههای جانبی میشود.
فرمول کلی مساحت کل منشور:
مساحت کل = مساحت جانبی + (2 × مساحت قاعده)
مساحت جانبی منشور
وجههای جانبی منشور معمولاً به شکل مستطیل یا متوازیالأضلاع هستند. اگر محیط قاعده را بهدست آوریم و آن را در ارتفاع منشور ضرب کنیم، مساحت جانبی محاسبه میشود.
فرمول مساحت جانبی منشور:
مساحت جانبی = محیط قاعده × ارتفاع
نکته: ارتفاع منشور، فاصلهی عمودی بین دو قاعدهی آن است.
مساحت قاعده منشور
مساحت قاعدهی یک منشور بستگی به شکل آن دارد. قاعده میتواند مثلث، مربع، مستطیل، ذوزنقه یا هر چندضلعی دیگری باشد. بنابراین برای محاسبهی مساحت قاعده باید از فرمول مخصوص همان شکل استفاده کنید:
- اگر قاعده مثلث باشد:
- اگر قاعده مستطیل باشد:
مساحت قاعده = طول × عرض
- اگر قاعده ذوزنقه باشد:
مساحت قاعده منشور
قاعدهی منشور شکلی دوبعدی است که ممکن است مثلث، مربع، مستطیل، ذوزنقه یا چندضلعیهای دیگر باشد. برای بهدست آوردن مساحت کل منشور، لازم است ابتدا مساحت یک قاعده را محاسبه کنیم و سپس آن را در فرمول کلی قرار دهیم.
فرمولهای پرکاربرد مساحت قاعده:
- قاعده مثلثی:
- قاعده مربعی یا مستطیلی:
مساحت قاعده = طول × عرض
- قاعده ذوزنقهای:
تفاوت محیط و مساحت منشور چیست؟
مساحت منشور یعنی مجموع مساحت تمام وجههای آن، شامل دو قاعده و وجههای جانبی.
برای محاسبهی آن، ابتدا باید مساحت جانبی و مساحت یک قاعده را پیدا کنیم و سپس از فرمول زیر استفاده کنیم:
مساحت کل منشور = مساحت جانبی + (2 × مساحت قاعده)
که در آن:
مساحت جانبی = محیط قاعده × ارتفاع منشور
محیط منشور معمولاً به معنی محیط قاعده است، یعنی مجموع طول همهی ضلعهای یک قاعدهی منشور.
اگر قاعده منشور مثلث، مربع یا هر چندضلعی دیگری باشد، باید تمام ضلعهای آن را جمع کنیم:
محیط قاعده = مجموع طول ضلعهای قاعده
توجه داشته باشید که اگر بخواهیم محیط کلی منشور (مجموع طول همهی یالها) را پیدا کنیم، باید طول تمام یالهای منشور را با هم جمع کنیم. اما در فرمول مساحت، منظور از محیط، فقط محیط قاعده است.
مثالها و نمونه سؤالها
مثال ۱: یک منشور سهپهلو داریم که مساحت قاعدهی مثلثی آن ۲۰ سانتیمتر مربع است. محیط قاعده ۱۸ سانتیمتر و ارتفاع منشور ۱۰ سانتیمتر است.
پاسخ:
مساحت جانبی = محیط قاعده × ارتفاع
مساحت جانبی = 18 × 10 = 180 سانتیمتر مربع
مساحت کل = مساحت جانبی + (2 × مساحت قاعده)
مساحت کل = 180 + (2 × 20) = 220 سانتیمتر مربع
مثال ۲: مساحت یک قاعدهی ششضلعی منتظم برابر ۴۵ سانتیمتر مربع است. محیط قاعده ۳۰ سانتیمتر و ارتفاع منشور ۱۲ سانتیمتر است.
پاسخ:
مساحت جانبی = محیط قاعده × ارتفاع
مساحت جانبی = 30 × 12 = 360 سانتیمتر مربع
مساحت کل = مساحت جانبی + (2 × مساحت قاعده)
مساحت کل = 360 + (2 × 45) = 450 سانتیمتر مربع
مثال ۳: یک منشور ذوزنقهای با این مشخصات زیر را داریم، مساحت کل آن را حساب کنید:
قاعده بزرگ = ۸ سانتیمتر
قاعده کوچک = ۴ سانتیمتر
ارتفاع ذوزنقه = ۵ سانتیمتر
ارتفاع منشور = ۱۲ سانتیمتر
محیط قاعده = ۲۰ سانتیمتر
پاسخ:
مساحت جانبی = محیط قاعده × ارتفاع منشور
مساحت جانبی = 20 × 12 = 240 سانتیمتر مربع
مساحت کل = مساحت جانبی + (2 × مساحت قاعده)
مساحت کل = 240 + (2 × 30) = 300 سانتیمتر مربع
جدول فرمولهای مساحت منشور
در جدول زیر، تمامی فرمولهای کلیدی و مهم برای محاسبه مساحت جانبی، مساحت کل و مساحت قاعدههای مختلف منشور به صورت خلاصه آورده شده است. این جدول یک منبع سریع و کاربردی است که به شما کمک میکند به راحتی فرمول مورد نظر را پیدا کنید و در حل تمرینها و مسائل از آن استفاده کنید. مطالعه و مرور این فرمولها میتواند یادگیری شما را تسریع کند و به فهم بهتر مسائل کمک نماید.
جمعبندی
محاسبه مساحت منشور به ما کمک میکند تا بفهمیم چه مقدار سطح برای پوشش دادن یا رنگآمیزی این شکل سهبعدی نیاز داریم. منشور از دو قاعدهی مشابه و موازی تشکیل شده که شکل آنها چندضلعی است و وجوه جانبی که این دو قاعده را به هم متصل میکنند. برای پیدا کردن مساحت کل منشور، باید مساحت تمام وجوه جانبی را با مساحت هر دو قاعده جمع کنیم. دانستن این موضوع بسیار کاربردی است؛ چه در مسائل ریاضی و فیزیک و چه در زندگی روزمره، مثل طراحی بستهبندی یا ساخت سازهها. به همین دلیل یادگیری و تسلط بر روشهای محاسبه مساحت منشور یک مهارت پایهای و مهم به شمار میآید.
