ریاضی پنجم صفحه 43

در این مطلب، پاسخ کادر کلاس و تمرین صفحه ۴۳ ریاضی پنجم را بررسی می‌کنیم. جواب هر بخش همراه با روش حل ساده و مرحله‌به‌مرحله ارائه شده است.با این راهنما می‌توانید پاسخ‌های خود را بررسی کنید و نکات مهم درس را بهتر یاد بگیرید. اگر برای حل تمرین‌های صفحه ۴۳ دنبال یک راهنمای روشن و قابل‌فهم هستید، این مطلب کمکتان می‌کند.

پاسخ کار در کلاس صفحه 43 ریاضی پنجم

سوال 1: کسرهای زیر را ساده کنید.

جواب:

برای ساده کردن کسر، صورت و مخرج را بر بزرگ‌ترین عددی که هر دو بر آن بخش‌ پذیرند تقسیم می‌ کنیم. در ضرب کسرها هم بهتر است قبل از ضرب، عددهای صورت و مخرج را با هم ساده کنیم تا با عددهای کوچک‌تر کار کنیم.

1. ⁦۱۲/۱۵⁩: صورت و مخرج هر دو بر ۳ بخش‌پذیرند؛ ⁦۱۲ ÷ ۳ = ۴⁩ و ⁦۱۵ ÷ ۳ = ۵⁩. پس ⁦۱۲/۱۵ = ۴/۵⁩.
2. ⁦۴۸/۵۶⁩: هر دو عدد بر ۸ بخش‌پذیرند؛ ⁦۴۸ ÷ ۸ = ۶⁩ و ⁦۵۶ ÷ ۸ = ۷⁩. پس ⁦۴۸/۵۶ = ۶/۷⁩.
3. ⁦۹/۴ × ۲/۱۸⁩: عدد ۹ در صورت و ۱۸ در مخرج را بر ۹ ساده می‌ کنیم (می‌ شوند ۱ و ۲)؛ عدد ۲ در صورت و ۴ در مخرج را بر ۲ ساده می‌ کنیم (می‌ شوند ۱ و ۲). حاصل: ⁦(۱ × ۱)/(۲ × ۲) = ۱/۴⁩.
4. ⁦(۲ × ۳)/(۷ × ۸)⁩: عدد ۲ در صورت و ۸ در مخرج را بر ۲ ساده می‌ کنیم: ⁦(۱ × ۳)/(۷ × ۴) = ۳/۲۸⁩.
5. ⁦۳/۴ × ۱۸/۵⁩: عدد ۱۸ در صورت و ۴ در مخرج را بر ۲ ساده می‌ کنیم (می‌ شوند ۹ و ۲): ⁦(۳ × ۹)/(۲ × ۵) = ۲۷/۱۰⁩. این کسر را به صورت عدد مخلوط ⁦۲ و ۷/۱۰⁩ هم می‌ توان نوشت.

جواب نهایی: ⁦۱۲/۱۵ = ۴/۵⁩ ، ⁦۴۸/۵۶ = ۶/۷⁩ ، ⁦۹/۴ × ۲/۱۸ = ۱/۴⁩ ، ⁦(۲ × ۳)/(۷ × ۸) = ۳/۲۸⁩ ، ⁦۳/۴ × ۱۸/۵ = ۲۷/۱۰⁩

سوال 2: سه‌تا از کسرهای زیر باهم مساوی‌اند و یکی از آن‌ها با بقیه مساوی نیست. آن‌ها را با دلیل مشخص کنید.

جواب:

باید تمام کسرها را ساده کنیم، سپس به جواب برسیم.

هر کسر را تا جایی که ممکن است ساده می‌ کنیم و بعد ساده‌ شده‌ ها را با هم مقایسه می‌ کنیم.

1. ⁦۸/۱۲⁩: صورت و مخرج را بر ۴ تقسیم می‌ کنیم: ⁦۸/۱۲ = ۲/۳⁩.
2. ⁦۱۲/۱۸⁩: صورت و مخرج را بر ۶ تقسیم می‌ کنیم: ⁦۱۲/۱۸ = ۲/۳⁩.
3. ⁦۹/۱۲⁩: صورت و مخرج را بر ۳ تقسیم می‌ کنیم: ⁦۹/۱۲ = ۳/۴⁩.
4. ⁦۳۲/۴۸⁩: صورت و مخرج را بر ۱۶ تقسیم می‌ کنیم: ⁦۳۲/۴۸ = ۲/۳⁩.
5. سه کسر برابر ⁦۲/۳⁩ شدند، ولی ⁦۹/۱۲⁩ برابر ⁦۳/۴⁩ است. این دو مساوی نیستند، چون با مخرج ۱۲ داریم ⁦۲/۳ = ۸/۱۲⁩ و ⁦۳/۴ = ۹/۱۲⁩.

جواب نهایی: کسر ⁦۹/۱۲⁩ با بقیه مساوی نیست؛ ساده‌ شده‌ ی آن ⁦۳/۴⁩ است، ولی سه کسر دیگر همه برابر ⁦۲/۳⁩ هستند.

پاسخ تمرین صفحه 43 ریاضی پنجم

سوال 1: حاصل ضرب‌های زیر را به دست آورید. پاسخ خود را ساده کنید.

جواب:

برای ضرب عدد مخلوط، اول آن را به کسر تبدیل می‌ کنیم: عدد صحیح را در مخرج ضرب می‌ کنیم و صورت را به آن اضافه می‌ کنیم؛ حاصل، صورت کسر جدید است و مخرج همان می‌ ماند. بعد کسرها را ساده و در هم ضرب می‌ کنیم.

1. ضرب اول: ⁦۲ و ۱/۳ = ۷/۳⁩ (چون ⁦۲ × ۳ + ۱ = ۷⁩) و ⁦۱ و ۱/۵ = ۶/۵⁩ (چون ⁦۱ × ۵ + ۱ = ۶⁩). در ⁦۷/۳ × ۶/۵⁩ عدد ۶ و ۳ را بر ۳ ساده می‌ کنیم (می‌ شوند ۲ و ۱): ⁦۷/۱ × ۲/۵ = ۱۴/۵⁩. چون ۱۴ تقسیم بر ۵ می‌ شود ۲ و باقی‌ مانده ۴، داریم ⁦۱۴/۵ = ۲ و ۴/۵⁩.
2. ضرب دوم: ⁦۳ و ۱/۲ = ۷/۲⁩ (چون ⁦۳ × ۲ + ۱ = ۷⁩). پس ⁦۷/۸ × ۷/۲ = ۴۹/۱۶⁩؛ اینجا عددی ساده نمی‌ شود. چون ۴۹ تقسیم بر ۱۶ می‌ شود ۳ و باقی‌مانده ۱، داریم ⁦۴۹/۱۶ = ۳ و ۱/۱۶⁩.
3. ضرب سوم: ⁦۴ و ۲/۵ = ۲۲/۵⁩ (چون ⁦۴ × ۵ + ۲ = ۲۲⁩) و ⁦۲ و ۳/۴ = ۱۱/۴⁩ (چون ⁦۲ × ۴ + ۳ = ۱۱⁩). در ⁦۲۲/۵ × ۱۱/۴⁩ عدد ۲۲ و ۴ را بر ۲ ساده می‌ کنیم (می‌ شوند ۱۱ و ۲): ⁦۱۱/۵ × ۱۱/۲ = ۱۲۱/۱۰⁩. چون ۱۲۱ تقسیم بر ۱۰ می‌ شود ۱۲ و باقی‌ مانده ۱، داریم ⁦۱۲۱/۱۰ = ۱۲ و ۱/۱۰⁩.

جواب نهایی: ⁦۲ و ۱/۳ × ۱ و ۱/۵ = ۲ و ۴/۵⁩ ، ⁦۷/۸ × ۳ و ۱/۲ = ۳ و ۱/۱۶⁩ ، ⁦۴ و ۲/۵ × ۲ و ۳/۴ = ۱۲ و ۱/۱۰⁩

سوال 2: زمینی به شکل مستطیل داریم که طول آن  متر و عرض آن متر است.

الف) ابتدا مسئله را ساده کنید .سپس مساحت این زمین را به صورت تقریبی به دست آورید.

جواب:

1. مساحت مستطیل از ضرب طول در عرض به دست می‌ آید. برای ساده کردن مسئله، هر عدد مخلوط را به نزدیک‌ترین عدد صحیح گرد می‌ کنیم.
2. عرض: در ⁦۵ و ۱/۴⁩ کسر ⁦۱/۴⁩ از نصف کمتر است، پس این عدد به ۵ نزدیک‌تر است تا ۶: ⁦۵ و ۱/۴ ≈ ۵⁩.
3. طول: در ⁦۹ و ۳/۴⁩ کسر ⁦۳/۴⁩ از نصف بیشتر است، پس این عدد به ۱۰ نزدیک‌تر است تا ۹: ⁦۹ و ۳/۴ ≈ ۱۰⁩.
4. مساحت تقریبی: ⁦۵ × ۱۰ = ۵۰⁩.

جواب نهایی: مساحت تقریبی زمین حدود ⁦۵۰⁩ متر مربع است.

ب) مساحت زمین را با ضرب دو کسر به صورت دقیق به دست آورید.

جواب:

1. عددهای مخلوط را به کسر تبدیل می‌ کنیم: ⁦۵ و ۱/۴ = ۲۱/۴⁩ (چون ⁦۵ × ۴ + ۱ = ۲۱⁩) و ⁦۹ و ۳/۴ = ۳۹/۴⁩ (چون ⁦۹ × ۴ + ۳ = ۳۹⁩).
2. دو کسر را در هم ضرب می‌ کنیم: ⁦۲۱/۴ × ۳۹/۴ = (۲۱ × ۳۹)/(۴ × ۴) = ۸۱۹/۱۶⁩. این کسر ساده نمی‌ شود، چون ۸۱۹ فرد است و بر ۲ بخش‌ پذیر نیست.
3. کسر را به عدد مخلوط تبدیل می‌ کنیم: ⁦۱۶ × ۵۱ = ۸۱۶⁩، پس ۸۱۹ تقسیم بر ۱۶ می‌ شود ۵۱ و باقی‌مانده ۳: ⁦۸۱۹/۱۶ = ۵۱ و ۳/۱۶⁩.
4. این جواب به مساحت تقریبی بخش الف (۵۰ متر مربع) نزدیک است؛ پس محاسبه منطقی است.

جواب نهایی: مساحت دقیق زمین ⁦۵۱ و ۳/۱۶⁩ متر مربع (یعنی ⁦۸۱۹/۱۶⁩ متر مربع) است.

سوال 3: کسر  به کدام‌یک از کسرهای زیر نزدیک‌تر است؟ دلیل بیاورید.

جواب:

ابتدا باید کسرهای داده شده را ساده و سپس هم‌مخرج کنیم:

با توجه به اینکه مخرج 40 شده است، پس باید صورت و مخرج کسر  را در عدد 20 ضرب کنیم که حاصل  می‌شود؛ در اینصورت به کسر   نزدیک‌تر است.

برای مقایسه‌ ی کسرها، آن‌ها را ساده و بعد هم‌ مخرج می‌ کنیم؛ وقتی مخرج‌ ها یکی شد، کافی است صورت‌ ها را مقایسه کنیم.

1. ساده کردن: ⁦۱۲/۱۶ = ۳/۴⁩ (تقسیم صورت و مخرج بر ۴) و ⁦۲۰/۲۵ = ۴/۵⁩ (تقسیم صورت و مخرج بر ۵).
2. مخرج‌ ها حالا ۸، ۱، ۸، ۴ و ۵ هستند. کوچک‌ترین عددی که بر همه‌ی آن‌ها بخش‌ پذیر است ۴۰ است، پس همه را با مخرج ۴۰ می‌ نویسیم: ⁦۷/۸ = ۳۵/۴۰⁩ ، ⁦۲/۱ = ۸۰/۴۰⁩ ، ⁦۵/۸ = ۲۵/۴۰⁩ ، ⁦۳/۴ = ۳۰/۴۰⁩ ، ⁦۴/۵ = ۳۲/۴۰⁩.
3. کسر ⁦۱/۲⁩ را هم با مخرج ۴۰ می‌ نویسیم؛ صورت و مخرج را در ۲۰ ضرب می‌ کنیم: ⁦۱/۲ = ۲۰/۴۰⁩.
4. فاصله‌ ی هر کسر از ⁦۲۰/۴۰⁩ را با تفریق صورت‌ ها پیدا می‌ کنیم (جدول زیر). هر کسری که فاصله‌ اش کمتر باشد، به ⁦۱/۲⁩ نزدیک‌تر است.

کمترین فاصله ⁦۵/۴۰⁩ است که مربوط به ⁦۲۵/۴۰⁩، یعنی کسر ⁦۵/۸⁩ است.

جواب نهایی: کسر ⁦۱/۲⁩ به ⁦۵/۸⁩ نزدیک‌تر است، چون فاصله‌ ی آن‌ها فقط ⁦۵/۸ − ۱/۲ = ۵/۴۰ = ۱/۸⁩ است.

سوال 4: کسرهای زیر را ساده کنید و هر کدام را که مساوی کسر  است، مشخص کنید.

جواب:

هر کسر را با تقسیم صورت و مخرج بر بزرگ‌ترین مقسوم‌ علیه مشترک شان ساده می‌ کنیم و نتیجه را با ⁦۳/۴⁩ مقایسه می‌ کنیم.

الف) صورت و مخرج را بر ۱۰ تقسیم می‌ کنیم: ⁦۳۰/۴۰ = ۳/۴⁩؛ این کسر مساوی ⁦۳/۴⁩ است.

ب) صورت و مخرج را بر ۸ تقسیم می‌ کنیم: ⁦۱۶/۲۴ = ۲/۳⁩.

پ) صورت و مخرج را بر ۱۵ تقسیم می‌ کنیم: ⁦۳۰/۴۵ = ۲/۳⁩.

ت) صورت و مخرج را بر ۱۲ تقسیم می‌ کنیم: ⁦۲۴/۳۶ = ۲/۳⁩.

جواب نهایی: فقط کسر الف (⁦۳۰/۴۰⁩) مساوی ⁦۳/۴⁩ است؛ سه کسر دیگر هر سه برابر ⁦۲/۳⁩ هستند.

سوال 5: کسرهای زیر را ساده کنید.

جواب:

به جای اینکه اول ضرب کنیم و بعد عددهای بزرگ را ساده کنیم، هر عدد صورت را با هر عدد مخرج که عامل مشترک دارند ساده می‌ کنیم.

الف) عدد ۱۲ در صورت و ۴ در مخرج هر دو بر ۴ بخش‌ پذیرند؛ ۱۲ می‌شود ۳ و ۴ می‌ شود ۱: ⁦(۳ × ۵)/(۸ × ۱) = ۱۵/۸⁩. عددهای ۱۵ و ۸ عامل مشترکی ندارند، پس کسر ساده‌ شده است (به صورت عدد مخلوط: ⁦۱ و ۷/۸⁩).

ب) عدد ۸ و ۱۲ را بر ۴ ساده می‌ کنیم (می‌ شوند ۲ و ۳)؛ عدد ۱۶ و ۱۴ را بر ۲ ساده می‌ کنیم (می‌ شوند ۸ و ۷): ⁦۲/۳ × ۸/۷ = (۲ × ۸)/(۳ × ۷) = ۱۶/۲۱⁩.

جواب نهایی: الف) ⁦۱۵/۸⁩ ب) ⁦۱۶/۲۱⁩

سوال 6: حاصل ضرب‌های زیر را ساده کنید.

جواب:

عدد صحیح را مثل کسری با مخرج ۱ در نظر می‌ گیریم و آن را با مخرج کسر دیگر ساده می‌ کنیم.

الف) عدد ۲۰ و مخرج ۵ را بر ۵ ساده می‌ کنیم (می‌ شوند ۴ و ۱): ⁦۱/۵ × ۲۰ = ۱ × ۴ = ۴⁩. یعنی یک‌ پنجمِ ۲۰ برابر ۴ است.

ب) عدد ۹ و مخرج ۹ را بر ۹ ساده می‌ کنیم (هر دو می‌ شوند ۱): ⁦۲/۹ × ۹ = ۲ × ۱ = ۲⁩.

پ) عدد ۱۲ و مخرج ۸ را بر ۴ ساده می‌ کنیم (می‌ شوند ۳ و ۲): ⁦۱/۸ × ۱۲ = ۳/۲⁩، که به صورت عدد مخلوط ⁦۱ و ۱/۲⁩ است.

جواب نهایی: الف) ⁦۴⁩ ب) ⁦۲⁩ پ) ⁦۳/۲⁩

سوال 7: سه کسر بنویسید که با کسر  مساوی باشند.

جواب:

اگر صورت و مخرج یک کسر را در یک عدد ضرب کنیم یا بر یک عدد (غیر از صفر) تقسیم کنیم، کسر مساوی به دست می‌ آید.

1. تقسیم صورت و مخرج بر ۲: ⁦(۶ ÷ ۲)/(۸ ÷ ۲) = ۳/۴⁩.
2. ضرب صورت و مخرج در ۳: ⁦(۶ × ۳)/(۸ × ۳) = ۱۸/۲۴⁩.
3. ضرب صورت و مخرج در ۲: ⁦(۶ × ۲)/(۸ × ۲) = ۱۲/۱۶⁩.

جواب نهایی: ⁦۶/۸ = ۳/۴ = ۱۸/۲۴ = ۱۲/۱۶⁩ (کسرهای دیگری مثل ⁦۹/۱۲⁩ یا ⁦۲۴/۳۲⁩ هم درست‌ اند).